不等式 |a − 1| < |2a| を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗してよい理由を述べる。 両辺とも絶対値なのでともに非負であり、$t\mapsto t^2$ は $[0,\infty)$ 上で狭義単調増加である。したがって 2 乗は単なる必要条件ではなく同値変形であり、無縁解が現れることはない：

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   符号の組み合わせ 4 通りで場合分けするより、この点が大きな利点である。

2. 2

   展開して片側に集める。

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   したがって $3a^2+2a-1>0$ を解けばよい。

3. 3

   二次式を因数分解する。 積が $3\cdot(-1)=-3$、和が $2$ になる 2 数を探すと $3$ と $-1$ が見つかる：

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   したがって臨界点は $a=-1$ と $a=\tfrac13$ である。

4. 4

   下に凸の放物線から符号を読み取る。 最高次の係数 $3$ は正なので、$(3a-1)(a+1)$ は 2 つの解の外側で正、その間では負になる：

   $a<-1\qquad\text{または}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   3 つの領域それぞれで 1 点ずつ試す。 $a=-2$ では $|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$。$a=0$ では $|-1|=1<|0|=0$ が偽 $\checkmark$（正しく除かれている）。$a=1$ では $|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$。両端点では左右の辺が等しくなるので、端点は解に入らない。