不等式 |x² − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x² + 5x + 7 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   絶対値の中を因数分解して切れ目をすべて見つける。 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ なので、この式は $x=2$ と $x=3$ で符号が変わる。2 つ目の絶対値は $x=4$ で変わる。この 3 つの切れ目が数直線を 4 つの区間に分ける：

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   各区間ではどちらの絶対値もふつうの多項式になり、不等式は二次不等式になる。

2. 2

   場合 $x<2$：中身はそれぞれ正と負になる。 ここでは $(x-2)(x-3)>0$ かつ $x-4<0$ なので、左辺は $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$ となる。不等式は

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   になる。その解は $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$、およそ $0.2878$ と $5.212$ である。下に凸の放物線は解の外側で非負なので、$x<2$ と共通部分をとると

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

   が残る。

3. 3

   場合 $2\le x<3$：中の二次式が符号を変える。 いまや $(x-2)(x-3)\le 0$ なので $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$ となり、$|x-4|=4-x$ のほうは変わらない。不等式は

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   になる。両辺の $-x^2$ が打ち消し合い、一次の条件 $-9\ge x$ が残る。$[2,3)$ の点で $x\le -9$ を満たすものはないので、この場合は空である。

4. 4

   場合 $3\le x<4$：二次式がまた正に戻る。 ここでは $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$、$|x-4|=4-x$ となり、場合 1 と同じ不等式 $2x^2-11x+3\ge 0$ が現れる。その解集合は $x\le 0.2878$ または $x\ge 5.212$ である。どちらの領域も $[3,4)$ と交わらないので、この場合もまた空である。

5. 5

   場合 $x\ge 4$：どちらの絶対値もそのまま外れる。 いまや $|x-4|=x-4$ なので

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   となる。これはきれいに因数分解できて $2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$、その解は $x=-\tfrac12$ と $x=5$ である。解の外側をとり、$x\ge 4$ との共通部分をとると

   $x\ge 5$

   が得られる。

6. 6

   生き残った場合を合併し、抜き取りで確かめる。

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   最初の端点は数値では $0.28779$ である。検算すると、$x=0$ では左辺が $6+4=10$、右辺が $7$ なので成り立つ ✓。$x=1$ では $2+3=5$ に対して $11$ となり成り立たない ✓。$x=5$ では両辺とも $7$ になるので端点は含まれる ✓。$x=6$ では $12+2=14$ に対して $1$ である ✓。