不等式 7|w − 6| ≥ 2 を解け。

Step-by-step solution

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   場合分けをする前に絶対値を単独にする。 $|A|$ の書き換え規則は、絶対値が単独で立っているときにしか使えない。ここでは $7$ が掛かっているので、両辺を正の数 $7$ で割る（符号の反転はない）：

   $|w-6|\ge\frac{2}{7}$

2. 2

   「以上」型の絶対値を 2 本の半直線に分ける。 $b>0$ のとき $|A|\ge b$ は、$A$ から $0$ までの距離が $b$ 以上であることを表す。これが起こるのは原点から離れた両側であって、その間ではない：

   $w-6\le-\frac{2}{7}\qquad\text{または}\qquad w-6\ge\frac{2}{7}$

   つなぐ言葉は**「または」*であって、決して「かつ」*ではない。ひとつの $w$ が、左に遠いと同時に右にも遠いということはありえない。

3. 3

   各枝に 6 を足して解く。 分数がきれいにまとまるよう $6$ を 7 分のいくつに直しておく。$6=\tfrac{42}{7}$ である：

   $w\le\frac{42}{7}-\frac{2}{7}=\frac{40}{7}\qquad\text{または}\qquad w\ge\frac{42}{7}+\frac{2}{7}=\frac{44}{7}$

4. 4

   解集合を書く。 区間の記法では

   $\left(-\infty,\tfrac{40}{7}\right]\cup\left[\tfrac{44}{7},\infty\right)$

   となる。もとの関係が等号を許していたので、両端点はどちらも 含まれる。数値でいえば、除かれる隙間は $w=6$ を中心とする短い開区間 $(5.714\ldots,\,6.285\ldots)$ である。

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   境界と隙間を検証する。 $w=\tfrac{40}{7}$ では $7\left|\tfrac{40}{7}-6\right|=7\cdot\tfrac{2}{7}=2\ge2$ ✓（等号が成り立つので端点は解集合に属する）。中心の $w=6$ では $7|0|=0$ となり、これは $\ge2$ ではない ✗ で、隙間があることが確かめられる。もとの不等式と主張した集合を $500$ 個の厳密な有理点で突き合わせると、どこでも一致する ✓。