方程式 |x² − 13| = 3 を解け。

Step-by-step solution

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   絶対値の定義に従って場合分けする。 $|A| = 3$ は、中身が 0 から左右どちらかに $3$ だけ離れていることを意味するので、$A = 3$ または $A = -3$ である。ここではそこから 2 本の別々の二次方程式が得られる：

   $x^2 - 13 = 3 \qquad \text{または} \qquad x^2 - 13 = -3$

   $3 > 0$ なのでどちらの枝も生きている。もし右辺が負であれば解はまったく存在しない。

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   正の枝を解く。

   $x^2 - 13 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4$

3. 3

   負の枝を解く。

   $x^2 - 13 = -3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 10 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{10}$

   どちらの右辺も正になったので、各枝が実際に 2 個ずつ実数解を出す。この方程式の解が 2 個ではなく 4 個になるのはそのためである。

4. 4

   すべての解を検算する。 $|4^2 - 13| = |3| = 3$、$|(-4)^2 - 13| = 3$ である。無理数の組については $(\pm\sqrt{10})^2 = 10$ なので $|10 - 13| = |-3| = 3$ となる。4 つとも過不足なく成り立つ。

5. 5

   解集合を読み取る。 $\sqrt{10} \approx 3.1623$ として数直線上に並べると：

   $x = -4,\ -\sqrt{10},\ \sqrt{10},\ 4$