絶対値方程式 |3x − 5| = 5 を解け。

Step-by-step solution

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   右辺が正であることを確かめる。 絶対値は距離なので負になることはない。ここでは右辺が $5>0$ なので解は存在し、しかもちょうど 2 個ある。0 から $5$ だけ離れた点が 2 つあり、その各々に 1 個ずつ対応するからである。

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   1 本の方程式を 2 本にする。 $|A|=5$ は $A$ が $0$ から $5$ だけ離れていることを表すので、$A=5$ または $A=-5$ である。$A=3x-5$ とすると：

   $3x-5=5\qquad\text{または}\qquad 3x-5=-5$

   失われた解も増えた解もない。2 つの場合を合わせたものは、もとの方程式とちょうど同値である。

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   正の場合を解く。 両辺に $5$ を足し、$3$ で割る：

   $3x=10\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{3}$

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   負の場合を解く。 ここでも両辺に $5$ を足す。今度は右辺が 0 につぶれる：

   $3x-5=-5\quad\Longrightarrow\quad 3x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0$

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   両方の答えを代入し直す。 検算は手間がかからず、符号の取り違えを捕まえてくれる：

   $\left|3\cdot\tfrac{10}{3}-5\right|=|10-5|=5\qquad\checkmark$
   $|3\cdot 0-5|=|-5|=5\qquad\checkmark$

   どちらの値ももとの方程式を満たすので、解集合は $\left\{0,\tfrac{10}{3}\right\}$ である。