テイラー級数をやさしく解説：あらゆる関数を多項式で近似する

微分が関数のある点での傾きをとらえるのに対し、テイラー級数はある点で関数全体をとらえます——無限個の微分を積み上げることによって。テイラー級数は微積分と数値計算をつなぐ橋です。あなたの電卓が $\sin(0.4)$ を計算するたびに、内部ではテイラー級数を足し合わせているのです。

テイラー級数の公式

$x = a$ を中心とする関数 $f$ のテイラー級数は次のとおりです：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

つまり、点 $a$ で $f$、$f'$、$f''$、$f'''$、… を評価し、$n$ 番目の項が $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ となる多項式を組み立てるのです。

$a = 0$ のとき、その級数はマクローリン級数と呼ばれます——最もよくある場合です。

なぜこれがうまくいくのか？

点 $a$ の周りでは、関数はまずその接線（$n=1$ の項）に見え、次に曲率を含む放物線（$n=2$）に、それから三次関数に、というように見えます。高次の微分ほど、より細かい形の情報をとらえます。無限個を足し合わせると、（「素性のよい」関数については）$f$ が正確に復元されます。

三つの古典的なマクローリン展開

この三つは暗記しましょう——絶えず登場します：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

指数関数の級数はすべてのべきを含みます。サインは奇数のべきだけ、コサインは偶数のべきだけです。この対称性は、$0$ でどの微分が消えるかの直接の帰結です。

例題：$\sin x$ をゼロから組み立てる

$f(x) = \sin x$ とします。$a = 0$ において：

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• このパターンは 4 回の微分ごとに繰り返します。

テイラーの公式に代入します：
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
これは $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$ に簡約されます。上の公式と同じです。

実用上の近似

0 の近くの小さい $x$ については、最初の数項だけでも非常に正確です：

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$（真の値：$0.0998334\dots$）。

これが、小角近似 $\sin x \approx x$ が成り立つ理由です。$x$ が小さいとき、次の項はごく小さいのです。

収束——いつ実際に $f$ と等しくなるのか？

テイラー級数には収束半径 $R$ があります。$|x - a| < R$ のとき級数は $f(x)$ に等しく、その外では級数は発散します。一部の関数（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$）は $R = \infty$ です。$1/(1-x)$ を 0 を中心に展開したものなど、ほかの関数は $R = 1$ です。

よくある間違い

• 階乗の分母 $n!$ を忘れる。
• 級数展開を混同する——サインは奇数、コサインは偶数、$e^x$ はすべて。
• 収束半径を確認せずに収束を仮定する。

AI 級数ソルバーで試そう

級数計算機を使って、任意の関数のテイラー展開を計算しましょう——微分のステップ、得られた多項式、そして数値による妥当性チェックを表示します。

関連リンク：

• 微分計算機——すべてのテイラー級数の構成要素
• 極限計算機——収束は極限の問題
• 積分計算機——テイラー級数は項ごとに積分できる