不等式は、真夜中にあなたを跳び起こすルールにたどり着くまでは方程式とそっくりに見えます：負の数で掛けたり割ったりすると、不等号の向きが反転するのです。このガイドでは、宿題の 95% を解けるパターンとともに、一次・連立・二次の不等式を解説します。

誰もが忘れる唯一のルール

方程式では、すべての操作が等式を保ちます。 $5 = 5$ は $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ を意味します——両辺を等しく符号反転しても、等式は成り立ちます。

不等式では、両辺を負の数で掛けたり割ったりすると向きが反転します。 $5 > 3$ は真ですが、両辺に $-1$ を掛けると $-5 > -3$ となり、これは偽です。正しい記述は $-5 < -3$ です。

この唯一のルールが、不等式の間違いのほとんどの原因です。反射的に出るまで叩き込みましょう：

一次不等式

符号の反転に注意しながら、一次方程式を解くのと同じように解きます。

例 1： $3x + 5 > 14$ 。

例 2（反転あり）： $-2x + 7 \leq 1$ 。

「複合」不等式は、二つの単純な不等式を**かつ（AND）またはまたは（OR）**でつないだものです。

かつはしばしば一本の連なりで書かれます： $-1 < 2x + 3 \leq 7$ 。三つすべての部分に同時に操作します。

またはは二つの別々の不等式のままです。解は、それぞれの解集合の和集合です：

$x < -3$ または $x > 5$ → 解 $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ 。

$x^2 + bx + c > 0$ （または $\neq 0$ の任意の不等式）について：

例： $x^2 - 5x + 6 > 0$ 。

因数分解： $(x - 2)(x - 3) > 0$ 。根は $x = 2$ と $x = 3$ 。
区間を試す：
- $x = 0$ ： $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
- $x = 2.5$ ： $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
- $x = 4$ ： $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
解： $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ 。

$\leq$ や $\geq$ の不等式では、根を含めます（閉区間）： $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$ 。

複合かつ → 二つの丸の間の区間。複合または → 外向きに伸びる二本の別々の半直線。

$|x - a| < b$ は $-b < x - a < b$ 、すなわち $a - b < x < a + b$ に展開されます——有界な区間。

$|x - a| > b$ は $x - a < -b$ または $x - a > b$ 、すなわち $x < a - b$ または $x > a + b$ に展開されます——外向きの二本の半直線。

負の数で割るときに反転を忘れる。不等式の誤答の最大の原因です。
端点を誤って含める。 $<$ と $\leq$ の違いは重要です——括弧の種類はそれに依存します。
複合かつを等号のように扱う。 $-2 < x < 5$ は一つの記述であり、「 $x = -2$ または $x = 5$ 」に分解することはできません。
二次不等式を方程式のように解く。 $x^2 - 4 > 0$ を「ゼロに等しい」とすると根 $\pm 2$ が得られますが、不等式の解は $\{-2, 2\}$ ではなく、それらの間や周りの区間です。

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