Calcolatrice di media, mediana e moda

Media, mediana e moda sono le tre principali misure di tendenza centrale in statistica. Ognuna descrive il centro di un insieme di dati in modo diverso.

Media (media aritmetica)

La media è la somma di tutti i valori divisa per il numero di valori:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

La media è sensibile ai valori anomali — un singolo valore molto grande o molto piccolo può spostarla significativamente.

Mediana

La mediana è il valore centrale quando i dati sono ordinati in modo crescente. Per $n$ dati:

• Se $n$ è dispari: mediana $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• Se $n$ è pari: mediana $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

La mediana è robusta ai valori anomali ed è preferita per le distribuzioni asimmetriche.

Moda

La moda è il valore che compare più frequentemente. Un insieme di dati può essere:

• Unimodale — una moda
• Bimodale — due mode
• Multimodale — più di due mode
• Senza moda — tutti i valori compaiono con la stessa frequenza

Queste tre misure insieme danno un quadro completo di dove si trova il "centro" di un insieme di dati.

Calcolare la media

1. Somma tutti i valori dei dati: $\sum x_i$
2. Dividi per il conteggio totale $n$
3. Risultato: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Media ponderata: quando i valori hanno pesi diversi:

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

Calcolare la mediana

1. Ordina i dati in modo crescente
2. Conta il numero di valori $n$
3. Se $n$ è dispari: la mediana è il valore in posizione $\frac{n+1}{2}$
4. Se $n$ è pari: la mediana è la media dei valori in posizione $\frac{n}{2}$ e $\frac{n}{2}+1$

Calcolare la moda

1. Conta la frequenza di ciascun valore
2. Individua il valore (o i valori) con la frequenza più alta
3. Se tutti i valori compaiono una volta, non c'è moda

Tabella di confronto

Quando usare ciascuna misura

• Media: usala per dati distribuiti normalmente senza valori anomali estremi (ad es. i punteggi di un test in una classe numerosa).
• Mediana: usala per dati asimmetrici o quando sono presenti valori anomali (ad es. il reddito familiare).
• Moda: usala per dati categorici o per trovare il valore più comune (ad es. la taglia di scarpe più popolare).

Relazione tra media, mediana e moda

Per una distribuzione perfettamente simmetrica: media $=$ mediana $=$ moda.

Per una distribuzione asimmetrica a destra: media $>$ mediana $>$ moda.

Per una distribuzione asimmetrica a sinistra: media $<$ mediana $<$ moda.

• Dimenticare di ordinare i dati prima di trovare la mediana — la mediana richiede dati ordinati; usare dati non ordinati dà un risultato errato.
• Confondere media e mediana per dati asimmetrici — la media è attratta dai valori anomali, quindi per distribuzioni asimmetriche la mediana è una misura migliore del centro.
• Affermare "nessuna moda" quando ci sono frequenze pari — se più valori condividono la frequenza più alta, sono tutti mode (bimodale o multimodale).
• Dividere per il conteggio sbagliato — assicurati di dividere per il numero totale di dati, non per il numero di valori distinti.
• Includere i valori anomali senza considerarli — controlla sempre i valori estremi che potrebbero rendere fuorviante la media.