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Calcolatrice di probabilità

Calcola la probabilità degli eventi con spiegazioni passo passo

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∑Math Input
Probability of rolling a 6 on a fair die
Probability of getting heads twice in 3 coin flips
A bag has 5 red and 3 blue balls. What is the probability of drawing a red ball?

Che cos'è la probabilità?

La probabilità misura quanto è verosimile che un evento si verifichi. Si esprime come un numero compreso tra 00 e 11 (o equivalentemente, dal 0%0\% al 100%100\%).

P(A)=Numero di esiti favorevoliNumero totale di esiti possibiliP(A) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti possibili}}

Concetti fondamentali

  • Spazio campionario SS: l'insieme di tutti gli esiti possibili
  • Evento AA: un sottoinsieme dello spazio campionario
  • Complementare A′A': l'evento che AA NON si verifica; P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)

Tipi di probabilità

  • Probabilità teorica: basata sul ragionamento su esiti equiprobabili (ad es. una moneta equa ha P(testa)=12P(\text{testa}) = \frac{1}{2})
  • Probabilità sperimentale: basata sulle frequenze osservate negli esperimenti
  • Probabilità soggettiva: basata sul giudizio personale o sull'esperienza

Regole della probabilità

  • 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 per ogni evento AA
  • P(S)=1P(S) = 1 (qualcosa deve accadere)
  • P(∅)=0P(\emptyset) = 0 (evento impossibile)

Come calcolare la probabilità

Probabilità di base

Per esiti equiprobabili:

P(A)=∣A∣∣S∣=esiti favorevoliesiti totaliP(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{esiti favorevoli}}{\text{esiti totali}}

Regola della somma (OR)

Per la probabilità che si verifichi l'evento AA o l'evento BB:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Se AA e BB sono mutuamente esclusivi (non possono verificarsi insieme):

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Regola del prodotto (AND)

Per la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi AA e BB:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Se AA e BB sono indipendenti:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Probabilità condizionata

La probabilità di AA dato che BB si è verificato:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilità binomiale

La probabilità di esattamente kk successi in nn prove indipendenti, ciascuna con probabilità pp:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

dove (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Tabella riassuntiva

ScenarioFormula
Evento singoloP(A)=favorevolitotaliP(A) = \frac{\text{favorevoli}}{\text{totali}}
ComplementareP(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)
A o B (generale)P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B)
A e B (indipendenti)P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B)
Condizionata$P(A
Binomiale(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Errori comuni da evitare

  • Assumere che gli eventi siano indipendenti quando non lo sono — estrarre carte senza reinserimento cambia le probabilità dopo ogni estrazione.
  • Dimenticare di sottrarre la sovrapposizione nella regola della somma — quando gli eventi possono verificarsi insieme, devi sottrarre P(A∩B)P(A \cap B) per evitare il doppio conteggio.
  • Confondere "e" con "o" — "e" significa che entrambi gli eventi accadono (moltiplica le probabilità per eventi indipendenti); "o" significa che ne accade almeno uno (somma le probabilità).
  • Non considerare tutti gli esiti possibili nello spazio campionario — assicurati di contare correttamente il totale, specialmente con combinazioni e permutazioni.
  • Confondere la direzione della probabilità condizionata — P(A∣B)P(A|B) non è uguale a P(B∣A)P(B|A).

Examples

Step 1: Esiti favorevoli: ci sono 44 re in un mazzo
Step 2: Esiti totali: ci sono 5252 carte in totale
Step 3: P(re)=452=113P(\text{re}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
Answer: P(re)=113≈0.0769P(\text{re}) = \frac{1}{13} \approx 0.0769

Step 1: È una probabilità binomiale con n=3n=3, k=2k=2, p=0.5p=0.5
Step 2: P(X=2)=(32)(0.5)2(0.5)1=3⋅0.25⋅0.5P(X=2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5
Step 3: P(X=2)=3⋅0.125=0.375P(X=2) = 3 \cdot 0.125 = 0.375
Answer: P(X=2)=38=0.375P(X=2) = \frac{3}{8} = 0.375

Step 1: Probabilità che la prima pallina sia rossa: P(R1)=58P(R_1) = \frac{5}{8}
Step 2: Dopo aver estratto una rossa, probabilità che la seconda sia rossa: P(R2∣R1)=47P(R_2|R_1) = \frac{4}{7}
Step 3: P(entrambe rosse)=P(R1)⋅P(R2∣R1)=58⋅47=2056=514P(\text{entrambe rosse}) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}
Answer: P(entrambe rosse)=514≈0.357P(\text{entrambe rosse}) = \frac{5}{14} \approx 0.357

Frequently Asked Questions

La probabilità di un evento impossibile è 0. Un evento impossibile non ha esiti favorevoli nello spazio campionario, quindi il rapporto tra esiti favorevoli e totali è uguale a zero.

Gli eventi indipendenti non influenzano le rispettive probabilità (come lanciare due monete). Gli eventi mutuamente esclusivi non possono verificarsi contemporaneamente (come ottenere un 3 e un 5 con un solo dado). Eventi mutuamente esclusivi con probabilità non nulla non sono mai indipendenti.

Con reinserimento, le probabilità restano le stesse per ogni estrazione perché l'elemento viene rimesso. Senza reinserimento, le probabilità cambiano dopo ogni estrazione perché il numero totale di elementi diminuisce e la composizione cambia.

La probabilità condizionata P(A|B) è la probabilità che l'evento A si verifichi dato che l'evento B si è già verificato. Restringe lo spazio campionario ai soli esiti in cui B è vero, poi controlla quanti di questi soddisfano anche A.

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