Fondamenti di probabilità: regole, calcolo combinatorio ed esempi

La probabilità quantifica l'incertezza. La buona notizia: la maggior parte dei problemi dei compiti si riduce a un piccolo insieme di regole e alla disponibilità a contare con attenzione. Questa guida copre le basi che ti servono prima di passare alle distribuzioni, alla verifica delle ipotesi o all'inferenza bayesiana.

Cosa significa "probabilità"

La probabilità di un evento $A$ è

$P(A) = \frac{\text{esiti favorevoli}}{\text{esiti totali}}$

assumendo che tutti gli esiti siano ugualmente probabili. $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = impossibile.
• $1$ = certo.
• $0.5$ = il lancio di una moneta.

Per esiti non ugualmente probabili, assegni dei pesi a ciascun esito (è ciò che fa una distribuzione di probabilità).

Le tre regole fondamentali

Regola della somma (probabilità di A o B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Sottrai l'intersezione per non contarla due volte. Se $A$ e $B$ sono mutuamente esclusivi (non possono verificarsi entrambi), l'intersezione è zero.

Esempio: estraendo una carta da un mazzo di 52 carte, $P(\text{Re o Cuori}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (Una carta è sia Re sia Cuori, da qui la sottrazione.)

Regola del prodotto (probabilità di A e B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Se $A$ e $B$ sono indipendenti (uno non influisce sull'altro), $P(B | A) = P(B)$, semplificando in $P(A) \cdot P(B)$.

Esempio: lanciando due dadi, $P(\text{entrambi 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (I lanci sono indipendenti.)

Probabilità condizionata

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

La probabilità di $B$ dato che $A$ si è verificato. Fondamento del teorema di Bayes e di gran parte della statistica inferenziale.

Esempio: una carta estratta è una figura. Qual è la probabilità che sia un Re?

• $P(\text{Re e figura}) = 4/52$.
• $P(\text{figura}) = 12/52$.
• $P(\text{Re | figura}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

Conteggio: permutazioni e combinazioni

Per $n$ elementi se ne scelgono $r$:

• Permutazioni (l'ordine conta): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Combinazioni (l'ordine non conta): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

La decisione è "scambiare due degli elementi scelti dà un risultato diverso?":

• Sì (es. medaglia d'oro vs d'argento) → permutazione.
• No (es. scegliere un comitato di 5 persone) → combinazione.

Esempio svolto: lotteria

Scegli 6 numeri su 49. L'ordine sul tuo biglietto non conta — combinazione.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Quindi $P(\text{vincere un jackpot da 6 numeri}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$.

Indipendenti vs mutuamente esclusivi (non confonderli!)

• Indipendenti: conoscere $A$ non cambia $P(B)$. I lanci di moneta sono indipendenti.
• Mutuamente esclusivi: $A$ e $B$ non possono verificarsi entrambi. Il lancio di un dado non può dare contemporaneamente 1 e 2.

Due eventi possono essere l'uno, l'altro, entrambi o nessuno dei due. Non sono lo stesso concetto, sebbene vengano comunemente confusi.

Errori comuni

• La fallacia dello scommettitore: "Ho fatto 5 testa di fila, quindi la prossima deve essere croce." I lanci di moneta sono indipendenti — il passato non cambia la probabilità futura.
• Sommare probabilità non mutuamente esclusive senza sottrarre l'intersezione. $P(\text{Re}) + P(\text{Cuori}) \neq P(\text{Re o Cuori})$.
• Confondere $P(A | B)$ con $P(B | A)$. La classica fallacia del procuratore: "Dato che l'imputato è innocente, la probabilità di questa prova è piccola; quindi data la prova, la probabilità di innocenza è piccola." Logicamente errato senza applicare il teorema di Bayes.

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