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Calcolatrice di derivate

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

Che cos'è una derivata?

Una derivata misura il tasso di variazione istantaneo di una funzione. Per una funzione f(x)f(x), la derivata f′(x)f'(x) è definita come:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Geometricamente, la derivata in un punto è uguale alla pendenza della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Notazioni comuni:

  • f′(x)f'(x) — notazione di Lagrange
  • dydx\frac{dy}{dx} — notazione di Leibniz
  • y˙\dot{y} — notazione di Newton (usata in fisica)

Regole di derivazione di base

Regola della potenza

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

Regola della somma / differenza

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

Regola del prodotto

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Regola del quoziente

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Regola della catena

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Derivate comuni

FunzioneDerivata
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

Errori comuni da evitare

  • Dimenticare la regola della catena: derivando funzioni composte come sin⁡(3x)\sin(3x), non dimenticare di moltiplicare per la derivata interna (33).
  • Errori di segno nella regola della potenza: ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}, non −2x−1-2x^{-1}.
  • Confondere la regola del prodotto e quella della catena: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' è la regola del prodotto; (f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' è la regola della catena.
  • Dimenticare le costanti: la derivata di una costante è 00, non 11.

Examples

Step 1: Applica la regola della potenza a ogni termine: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: Combina: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: Applica la regola del prodotto: f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: Semplifica: f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: Applica la regola della catena: funzione esterna eue^u dove u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

La regola della potenza afferma che la derivata di x^n è n·x^(n-1). Per esempio, la derivata di x³ è 3x².

Usa la regola della catena quando derivi funzioni composte — funzioni dentro altre funzioni, come sin(3x), e^(x²) o ln(2x+1). Moltiplica la derivata esterna per la derivata interna.

Una derivata trova il tasso di variazione (pendenza) di una funzione, mentre un integrale trova l'area accumulata sotto una curva. Sono operazioni inverse l'una dell'altra.

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