La regola della catena: quando e come applicarla (con esempi)

La regola della catena è lo strumento più usato nella derivazione, ed è anche la più grande fonte di errori. Una volta interiorizzato lo schema "esterno poi interno", puoi derivare quasi qualsiasi funzione composta in tre righe. Questa guida ti mostra lo schema, percorre sette esempi di difficoltà crescente ed elenca i quattro errori che vale la pena memorizzare in anticipo.

Cosa dice la regola della catena

Se $f$ e $g$ sono derivabili, la derivata della composizione $f(g(x))$ è

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

A parole: deriva la funzione esterna valutata nell'interna, poi moltiplica per la derivata dell'interna. Le etichette "esterna" e "interna" non sono negoziabili: confonderle ribalta la risposta.

Un utile aiuto mnemonico: la regola della catena è "la derivata esterna per la derivata interna", mai più, mai una sola.

Esempi svolti (facile → difficile)

Esempio 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Esterna: $\sin(u)$, interna: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Risultato: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Esempio 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Esterna: $e^u$, interna: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Risultato: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Esempio 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Esterna: $u^4$, interna: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Risultato: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Esempio 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Esterna: $\ln u$, interna: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Risultato: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Esempio 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Riscrivi come $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Esterna: $u^{1/2}$, interna: $u = x^2 + 1$.
• Derivata esterna: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Interna: $2x$.
• Risultato: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Esempio 6: catena annidata — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Tre strati — applica la regola della catena due volte.

• La più esterna: $\sin(u)$, interna $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (regola della catena su $\cos(x^2)$).
• Risultato: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Esempio 7: catena + regola del prodotto insieme — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Usa prima la regola del prodotto: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, per la regola della catena $g' = 3\cos(3x)$.
• Risultato: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

I quattro errori da memorizzare

1. Dimenticare la derivata interna. Scrivere $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ è l'errore di regola della catena più comune. Il fattore $2$ è obbligatorio.
2. Derivare l'interno prima di sostituire. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ non è $4(6x)^3$. La derivata esterna si valuta nell'espressione interna, non nella derivata interna.
3. Scambiare la funzione annidata per un prodotto. $\sin(2x)$ è una composizione, non un prodotto. Usa la regola della catena, non quella del prodotto.
4. Mettere male le parentesi nelle potenze trigonometriche. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — l'esterna è $u^2$, l'interna è $\sin x$. Facilmente confusa con $\sin(x^2)$ dove l'esterna è $\sin$ e l'interna è $x^2$.

Quando ti blocchi: il trucco della sostituzione

Poni $u = \text{(la parte interna)}$, trova $\frac{dy}{du}$ e $\frac{du}{dx}$, moltiplica. Anche quando la funzione sembra intimidatoria, questa sostituzione meccanica funziona sempre.

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Per materiale correlato più approfondito:

• Calcolatore di limiti — i limiti sono il fondamento della regola della catena
• Calcolatore di integrali — la sostituzione è la regola della catena al contrario
• Esempio svolto: derivata di sin(2x)
• Esempio svolto: derivata di e^(2x)