Integrazione per parti: una guida pratica con esempi

L'integrazione per parti è la regola del prodotto applicata al contrario ed è la singola tecnica di integrazione più usata dopo la sostituzione. La formula è breve, ma scegliere quale parte sia "u" e quale "dv" si trasforma in un'arte la prima volta che la incontri. Questa guida illustra la scorciatoia LIATE e cinque esempi di difficoltà crescente, così finisci con un metodo affidabile invece di procedere per tentativi.

La formula

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Si scambia un integrale con un altro che è (si spera) più facile. L'arte sta nello scegliere $u$ e $dv$: scelte sbagliate rendono il nuovo integrale più difficile.

LIATE: una regola pratica affidabile

Quando scegli $u$, preferisci le funzioni che vengono prima in questo elenco:

Logaritmiche > Inverse trigonometriche > Algebriche > Trigonometriche > Esponenziali

Ciò che resta diventa $dv$. LIATE non è un teorema, ma funziona per circa il 90% dei problemi dei libri di testo.

Esempio 1: $\int x e^x \, dx$ (algebrica × esponenziale)

LIATE → algebrica prima di esponenziale, quindi $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Applica: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Esempio 2: $\int x \ln x \, dx$ (algebrica × logaritmica)

LIATE → logaritmica per prima: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Semplifica: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Esempio 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (algebrica × trigonometrica — applica due volte)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Allora $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Primo passaggio: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Secondo passaggio su $\int 2x \cos x \, dx$: poni $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Allora $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Combina: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Quando vedi un polinomio di grado $n$ moltiplicato per $\sin/\cos/\exp$, aspettati di applicare la regola $n$ volte.

Esempio 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (il trucco del ciclo)

Entrambi i fattori sono candidati ugualmente "buoni": nessuno dei due diventa più semplice se integrato o derivato. Applica due volte e osserva l'integrale originale ricomparire, poi risolvi algebricamente.

• Primo passaggio: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Secondo passaggio sul nuovo integrale: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Sostituisci a ritroso: originale $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ originale.
• Risolvi: $2 \cdot \text{originale} = e^x (\cos x + \sin x)$, quindi originale $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Esempio 5: $\int \ln x \, dx$ (il caso "nessun dv ovvio")

Sembra che non ci sia nulla da integrare come $dv$. Trucco: usa $dv = dx$ (l'"$1$" in $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Questo stesso trucco gestisce $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ e simili.

Errori comuni

1. Errori di segno. La formula ha un singolo segno meno: usa la brutta copia per tenere traccia di $+/-$.
2. Scegliere $u$ in modo sbagliato. Se il nuovo integrale è più difficile dell'originale, hai invertito $u$ e $dv$. Scambiali.
3. Dimenticare "+ C" negli integrali indefiniti.
4. Usare le parti quando funzionerebbe la sostituzione. L'integrazione per parti è per i prodotti che non rientrano in uno schema di sostituzione. Se $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, usa la sostituzione.

Provalo tu stesso

Inserisci qualsiasi integrale nella Calcolatrice di integrali e ti mostreremo se la mossa giusta è la sostituzione, l'integrazione per parti o le frazioni parziali, oltre a ogni passaggio.

Per esempi specifici svolti e argomenti correlati:

• Esempio svolto: ∫ x² dx
• Esempio svolto: ∫ sin(x) dx
• Foglio riassuntivo delle formule di analisi
• Padroneggiare la regola della catena — il cugino della derivazione