Permutazione vs combinazione

Permutazioni e combinazioni sembrano quasi identiche finché non ti poni una domanda: l'ordine conta? Sbaglia quello e la tua risposta di probabilità sarà errata di un fattore $r!$ o più. Ecco la distinzione netta con esempi svolti.

La domanda centrale: l'ordine conta?

• Sì, l'ordine conta → permutazione. Scegliere il 1° / 2° / 3° posto tra 10 corridori.
• No, l'ordine non conta → combinazione. Scegliere un comitato di 5 persone tra 20.

Gli stessi 10 candidati possono dare risposte diverse a seconda che i ruoli siano distinti.

Le formule

Per $n$ elementi, scegliere $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Nota che la combinazione è la permutazione divisa per $r!$ — quel $r!$ rimuove gli ordinamenti degli elementi scelti, poiché alle combinazioni l'ordine non interessa.

Esempi svolti

Permutazione: podio di gara

Dieci corridori, tre posizioni con medaglia (oro, argento, bronzo). L'ordine conta — oro ≠ argento.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Combinazione: numeri della lotteria

Scegli 6 numeri su 49 — l'ordine sul tuo biglietto non conta.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Stessi numeri, risposta diversa

Scegli 3 lettere da {A, B, C, D}.

• Come permutazione (password di 3 lettere): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... tutte distinte.
• Come combinazione (solo scegliere 3 lettere): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Il fattore $3! = 6$ tra loro è esattamente l'$r!$ della formula.

Scorciatoia decisionale

Nel dubbio, chiediti: "Se scambio due dei miei elementi scelti, il risultato è diverso?"

• Sì → permutazione
• No → combinazione

Scegliere un capitano e un vice-capitano → lo scambio cambia chi è capitano → permutazione.
Scegliere 2 persone per un duo → lo scambio dà lo stesso duo → combinazione.

Errori comuni

• Mescolare le due quando è coinvolta la probabilità. Il denominatore (totale degli esiti) e il numeratore (esiti favorevoli) devono usare lo stesso metodo di conteggio.
• Dimenticare il divisore $r!$. Se calcoli permutazioni quando volevi combinazioni, conterai in eccesso di un fattore $r!$.
• Elementi distinguibili vs indistinguibili. Se alcuni elementi sono identici (es.: 5 palline rosse e 3 blu), nessuna formula semplice si applica — serve il coefficiente multinomiale $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

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