Statistica descrittiva

Media (popolazione)

$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

Media di tutti i valori della popolazione.

Media (campione)

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Media del campione.

Varianza (popolazione)

$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

Dispersione al quadrato, divisa per N.

Varianza (campione)

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$

Correzione di Bessel: dividere per $n-1$ .

Deviazione standard

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Radice quadrata della varianza — stesse unità dei dati.

Campo di variazione

$R = x_{\max} - x_{\min}$

La misura di dispersione più semplice.

Regole di probabilità

Regola della somma

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Probabilità di A o B (inclusione-esclusione).

Regola del prodotto

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Probabilità di A e B; si riduce al prodotto se indipendenti.

Probabilità condizionata

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Probabilità di B dato che A è avvenuto.

Teorema di Bayes

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Inverte le probabilità condizionate — test diagnostici, apprendimento automatico.

Indipendenza

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$

Vale se e solo se $A$ e $B$ sono indipendenti.

Calcolo combinatorio

Permutazioni

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

L'ordine conta: disporre $r$ tra $n$ .

Combinazioni

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

L'ordine non conta: scegliere $r$ tra $n$ .

Distribuzioni discrete

PMF binomiale

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$k$ successi in $n$ prove indipendenti con probabilità di successo $p$ .

Media binomiale

$\mu = np$

Numero atteso di successi.

Varianza binomiale

$\sigma^2 = np(1-p)$

Dispersione della binomiale.

PMF di Poisson

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Conteggio di eventi rari con tasso medio $\lambda$ .

Distribuzione normale

Densità di probabilità

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$

Curva a campana, media $\mu$ , deviazione $\sigma$ .

Punteggio Z

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Standardizza per confrontare tra distribuzioni.

Normale standard

$Z \sim N(0, 1)$

Dopo la trasformazione in punteggio Z.

Regola 68-95-99,7

$P(|X - \mu| < k\sigma):\ 0.68,\ 0.95,\ 0.997$

Per $k = 1, 2, 3$ — valido solo per dati normali.

Statistica inferenziale

Errore standard della media

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

Deviazione standard di $\bar{x}$ come stimatore.

Intervallo di confidenza (media, $\sigma$ noto)

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$z_{\alpha/2} = 1.96$ per IC al 95%.

Statistica t (un campione)

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Verifica media = $\mu_0$ quando $\sigma$ è ignoto.

Statistica chi-quadrato

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Test di bontà di adattamento / indipendenza per dati categorici.

Regressione lineare

Pendenza

$b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

Pendenza di miglior adattamento (minimi quadrati).

Intercetta

$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$

Costringe la retta a passare per $(\bar{x}, \bar{y})$ .

Correlazione di Pearson

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Forza e direzione della relazione lineare, $r \in [-1, 1]$ .

Coefficiente di determinazione

$R^2 = r^2$

Frazione della varianza in $y$ spiegata da $x$ .

Statistica Formulas