Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes mette in relazione le probabilità condizionate, consentendo di invertire la direzione del condizionamento:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Date la probabilità a priori $P(A)$ (la tua convinzione prima dell'evidenza) e la verosimiglianza $P(B \mid A)$, si calcola la probabilità a posteriori $P(A \mid B)$ — la tua convinzione aggiornata dopo aver osservato $B$.

Classico esempio del test medico: prevalenza della malattia 1%, sensibilità del test 99%, tasso di falsi positivi 1%. La probabilità di avere la malattia dato un test positivo:

$\frac{0.99 \cdot 0.01}{0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99} = \frac{1}{2}$

Nonostante un test accurato al 99%, un risultato positivo significa solo il 50% di probabilità di essere malati — perché la malattia è rara. La "fallacia del tasso di base" (dimenticare la probabilità a priori) è l'errore più comune con Bayes.

Bayes alimenta l'inferenza bayesiana, i classificatori naïve Bayes, i filtri antispam e il ragionamento forense.