Scorciatoie per i limiti

Limite standard (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Base di tutti i limiti trigonometrici.

Regola di de L'Hôpital

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Usala quando il limite è $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ .

Regole di derivazione

Regola della potenza

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Vale per qualsiasi esponente reale.

Regola del prodotto

$(fg)' = f'g + fg'$

Due funzioni moltiplicate: deriva ciascuna a turno.

Regola del quoziente

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Per i rapporti; ricorda l'ordine $f'g$ prima di $fg'$ .

Regola della catena

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Prima l’esterna, poi l’interna; la fonte di errori più comune.

Derivate comuni

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Attenzione al segno negativo.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

L’unica funzione a punto fisso.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Dominio $x > 0$ .

Tabella degli integrali

Regola della potenza (integrale)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Inversa della regola della potenza della derivazione.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

L’eccezione $n=-1$ alla regola della potenza.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Memorizza i segni: facili da confondere.

Esponenziale

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Uguale alla sua derivata.

Serie di Taylor / Maclaurin

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Converge per ogni $x$ reale.

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Solo potenze dispari.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Solo potenze pari.

Analisi matematica Formulas