Le disequazioni spiegate: lineari, composte, di secondo grado

Le disequazioni sembrano identiche alle equazioni finché non arrivi alla regola che ti tiene sveglio di notte: quando moltiplichi o dividi per un numero negativo, il verso della disequazione si inverte. Questa guida illustra le disequazioni lineari, composte e di secondo grado con gli schemi che risolvono il 95% dei compiti.

L'unica regola che tutti dimenticano

Per le equazioni: ogni operazione conserva l'uguaglianza. $5 = 5$ implica $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — entrambi i membri ugualmente negati, l'uguaglianza regge.

Per le disequazioni: moltiplicare o dividere entrambi i membri per un numero negativo inverte il verso. $5 > 3$ è vero, ma moltiplicando entrambi per $-1$ otteniamo $-5 > -3$, che è falso. L'affermazione corretta è $-5 < -3$.

Questa singola regola è all'origine della maggior parte degli errori sulle disequazioni. Imprimila nei tuoi riflessi:

• Addizionare/sottrarre qualsiasi cosa → nessuna inversione.
• Moltiplicare/dividere per un valore positivo → nessuna inversione.
• Moltiplicare/dividere per un valore negativo → inverti la disequazione.

Disequazioni lineari

Risolvile come risolvi le equazioni lineari, facendo attenzione alle inversioni di segno.

Esempio 1: $3x + 5 > 14$.

• Sottrai 5: $3x > 9$.
• Dividi per $3$ (positivo, nessuna inversione): $x > 3$.
• Insieme delle soluzioni: $(3, \infty)$ — la parentesi tonda significa che $x = 3$ non è incluso.

Esempio 2 (con l'inversione): $-2x + 7 \leq 1$.

• Sottrai 7: $-2x \leq -6$.
• Dividi per $-2$ (negativo — INVERTI): $x \geq 3$.
• Insieme delle soluzioni: $[3, \infty)$ — parentesi quadra per via di $\leq$, includendo $3$.

Disequazioni composte

Una disequazione "composta" unisce due disequazioni semplici con E oppure O.

E si scrive spesso come un'unica catena: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. Opera su tutte e tre le parti simultaneamente.

• Sottrai 3 ovunque: $-4 < 2x \leq 4$.
• Dividi per 2 ovunque: $-2 < x \leq 2$.
• Soluzione: $(-2, 2]$.

O resta come due disequazioni separate. La soluzione è l'unione dei due insiemi soluzione individuali:

$x < -3$ oppure $x > 5$ → soluzione $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

Disequazioni di secondo grado

Per $x^2 + bx + c > 0$ (o qualsiasi disequazione $\neq 0$):

1. Trova le radici di $x^2 + bx + c = 0$.
2. Rappresenta le radici sulla retta numerica — la dividono in intervalli.
3. Testa un punto in ciascun intervallo per vedere se lì il polinomio di secondo grado è positivo o negativo.
4. Scegli gli intervalli che corrispondono al verso della disequazione.

Esempio: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• Scomponi: $(x - 2)(x - 3) > 0$. Radici in $x = 2$ e $x = 3$.
• Testa gli intervalli:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2{,}5$: $(0{,}5)(-0{,}5) = -0{,}25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• Soluzione: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Per le disequazioni $\leq$ o $\geq$, includi le radici (intervalli chiusi): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Rappresentare le soluzioni su una retta numerica

• Cerchio vuoto (○) su un valore non incluso ($<$ o $>$).
• Cerchio pieno (●) su un valore incluso ($\leq$ o $\geq$).
• Freccia che si estende verso l'infinito nella direzione della soluzione.

E composta → un tratto tra due cerchi. O composta → due semirette separate che vanno verso l'esterno.

Disequazioni con valore assoluto

$|x - a| < b$ si sviluppa in $-b < x - a < b$, cioè $a - b < x < a + b$ — un intervallo limitato.

$|x - a| > b$ si sviluppa in $x - a < -b$ OPPURE $x - a > b$, cioè $x < a - b$ OPPURE $x > a + b$ — due semirette che vanno verso l'esterno.

Errori comuni

1. Dimenticare di invertire quando si divide per un negativo. La singola fonte più grande di risposte sbagliate sulle disequazioni.
2. Includere gli estremi in modo scorretto. $<$ contro $\leq$ conta — il tipo di parentesi dipende da questo.
3. Trattare la E composta come un'uguaglianza. $-2 < x < 5$ è un'unica affermazione; non puoi spezzarla in "$x = -2$ oppure $x = 5$."
4. Risolvere le disequazioni di secondo grado come equazioni. Porre $x^2 - 4 > 0$ "uguale a zero" dà le radici $\pm 2$; la soluzione della disequazione non è $\{-2, 2\}$ ma gli intervalli tra/intorno ad esse.

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