Valore assoluto

Il valore assoluto di un numero reale $x$, scritto $|x|$, è la sua distanza da $0$ sulla retta numerica — sempre non negativo. Definizione formale:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Regole comuni:

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (con $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — la disuguaglianza triangolare.

Risolvere $|x - 3| = 5$ richiede di considerare entrambi i casi: $x - 3 = 5$ oppure $x - 3 = -5$, da cui $x = 8$ oppure $x = -2$.

Generalizzazioni: nel piano complesso, $|z|$ è la distanza da $0$ in 2D. Negli spazi vettoriali, $|\vec{v}|$ diventa la norma. Il valore assoluto si generalizza a qualunque struttura in cui "dimensione" o "distanza" abbiano senso.