Risolutore di disequazioni

Una disequazione è un'affermazione matematica che confronta due espressioni usando uno dei simboli:

• $<$ (minore di)
• $>$ (maggiore di)
• $\leq$ (minore o uguale a)
• $\geq$ (maggiore o uguale a)

A differenza delle equazioni (che chiedono "quali valori rendono uguali i due membri?"), le disequazioni chiedono "quali valori rendono un membro più grande (o più piccolo) dell'altro?"

Per esempio, la disequazione:

$2x - 5 > 3$

chiede: per quali valori di $x$ si ha $2x - 5$ maggiore di $3$?

La soluzione di una disequazione è tipicamente un intervallo di valori, non un singolo numero. Le soluzioni si esprimono spesso in notazione di intervallo:

• $(a, b)$: tutti i valori strettamente compresi tra $a$ e $b$
• $[a, b]$: tutti i valori da $a$ a $b$, estremi inclusi
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: tutti i valori minori di $a$ o maggiori di $b$

Le disequazioni sono fondamentali nell'ottimizzazione, nei problemi con vincoli e nella determinazione di domini e codomini delle funzioni.

1. Disequazioni lineari

Risolvi come un'equazione lineare, con una regola fondamentale: invertire il verso della disequazione quando si moltiplica o si divide per un numero negativo.

Esempio: Risolvi $2x - 5 > 3$

1. Aggiungi 5: $2x > 8$
2. Dividi per 2: $x > 4$

Soluzione: $(4, \infty)$

Esempio con inversione del segno: Risolvi $-3x + 6 \leq 12$

1. Sottrai 6: $-3x \leq 6$
2. Dividi per $-3$ (inverti!): $x \geq -2$

2. Disequazioni di secondo grado

Risolvi prima l'equazione corrispondente, poi prova gli intervalli.

Esempio: Risolvi $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Scomponi: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Punti critici: $x = -1$ e $x = 5$
3. Prova gli intervalli:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Soluzione: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Disequazioni razionali

Trova dove numeratore e denominatore si annullano (punti critici), poi prova il segno in ciascun intervallo. Non moltiplicare mai entrambi i membri per un'espressione che potrebbe essere negativa.

4. Disequazioni con valore assoluto

• $|x| < a$ significa $-a < x < a$
• $|x| > a$ significa $x < -a$ oppure $x > a$

5. Metodo del grafico dei segni

Per le disequazioni polinomiali/razionali, costruisci un grafico dei segni che mostri il segno di ciascun fattore in ciascun intervallo.

• Dimenticare di invertire il verso della disequazione: quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione.
• Includere i punti critici in modo errato: per le disequazioni strette ($<$, $>$), i punti critici NON sono inclusi. Per $\leq$ o $\geq$, lo sono.
• Moltiplicare per una variabile senza considerarne il segno: se moltiplichi entrambi i membri per $x$, devi considerare separatamente i casi $x > 0$ e $x < 0$.
• Trattare in modo errato le disequazioni composte: per $a < f(x) < b$, risolvi entrambe le parti contemporaneamente, non indipendentemente.
• Scrivere la soluzione con la notazione sbagliata: usa le parentesi tonde per le disequazioni strette e le parentesi quadre per quelle inclusive.