Aturan rantai: kapan dan bagaimana menerapkannya (dengan contoh)

Aturan rantai adalah alat yang paling sering dipakai dalam diferensiasi, sekaligus sumber kesalahan terbesar. Begitu Anda menginternalisasi pola "luar-lalu-dalam", Anda dapat menurunkan hampir semua fungsi komposit dalam tiga baris. Panduan ini menunjukkan polanya, menelusuri tujuh contoh yang makin sulit, dan mencantumkan empat kesalahan yang layak dihafal lebih dulu.

Apa yang dikatakan aturan rantai

Jika $f$ dan $g$ terdiferensialkan, turunan komposisi $f(g(x))$ adalah

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

Dengan kata-kata: turunkan fungsi luar yang dievaluasi pada fungsi dalam, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Label "luar" dan "dalam" tidak bisa ditawar — menukarnya membalik jawaban.

Jembatan keledai yang berguna: aturan rantai adalah "turunan luar kali turunan dalam", tidak pernah tambah, tidak pernah hanya satu.

Contoh soal (mudah → sulit)

Contoh 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Luar: $\sin(u)$, dalam: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Hasil: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Contoh 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Luar: $e^u$, dalam: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Hasil: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Contoh 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Luar: $u^4$, dalam: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Hasil: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Contoh 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Luar: $\ln u$, dalam: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Hasil: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Contoh 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Tulis ulang sebagai $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Luar: $u^{1/2}$, dalam: $u = x^2 + 1$.
• Turunan luar: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Dalam: $2x$.
• Hasil: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Contoh 6: rantai bertingkat — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Tiga lapis — terapkan aturan rantai dua kali.

• Terluar: $\sin(u)$, dalam $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (aturan rantai pada $\cos(x^2)$).
• Hasil: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Contoh 7: rantai + aturan hasil kali bersamaan — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Gunakan aturan hasil kali dahulu: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, dengan aturan rantai $g' = 3\cos(3x)$.
• Hasil: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Empat kesalahan yang layak dihafal

1. Lupa turunan dalam. Menulis $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ adalah kesalahan aturan rantai paling umum. Faktor $2$ wajib.
2. Menurunkan bagian dalam sebelum substitusi. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ bukan $4(6x)^3$. Turunan luar dievaluasi pada ekspresi dalam, bukan pada turunan dalam.
3. Mengira fungsi bertingkat sebagai hasil kali. $\sin(2x)$ adalah komposisi, bukan hasil kali. Gunakan aturan rantai, bukan aturan hasil kali.
4. Salah memberi kurung pada pangkat trigonometri. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — luar $u^2$, dalam $\sin x$. Mudah dikira $\sin(x^2)$ yang luarnya $\sin$ dan dalamnya $x^2$.

Saat buntu: trik substitusi

Misalkan $u = \text{(bagian dalam)}$, cari $\frac{dy}{du}$ dan $\frac{du}{dx}$, kalikan. Bahkan saat fungsinya tampak menakutkan, substitusi mekanis ini selalu bekerja.

Coba sendiri

Tempel fungsi komposit apa pun ke Kalkulator Turunan gratis kami dan saksikan setiap penerapan aturan rantai langkah demi langkah. Padukan dengan bagian contekan aturan rantai kami untuk rujukan cepat saat mengerjakan PR.

Untuk materi terkait yang lebih dalam:

• Kalkulator Limit — limit menjadi fondasi aturan rantai
• Kalkulator Integral — substitusi adalah aturan rantai yang dibalik
• Contoh soal: turunan sin(2x)
• Contoh soal: turunan e^(2x)