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Sin Cos Tan कैलकुलेटर

चरण-दर-चरण व्याख्याओं के साथ ज्या, कोज्या, और स्पर्शज्या फलनों का मान निकालें और आरेखित करें
sin(pi/3)
cos(225°)
tan(7pi/4)
sin(x) + cos(x) at x = pi/4

Sin, Cos, और Tan क्या हैं?

तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलन — ज्या, कोज्या, और स्पर्शज्या — एक समकोण त्रिभुज में कोणों को भुजाओं के अनुपातों से संबंधित करते हैं:

sin⁡θ=सम्मुखकर्ण,cos⁡θ=आसन्नकर्ण,tan⁡θ=सम्मुखआसन्न=sin⁡θcos⁡θ\sin\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{आसन्न}}{\text{कर्ण}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{आसन्न}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

इकाई वृत्त (त्रिज्या 1, मूल बिंदु पर केंद्रित) पर, धनात्मक xx-अक्ष से मापे गए कोण θ\theta के लिए:

  • cos⁡θ\cos\theta = बिंदु का xx-निर्देशांक
  • sin⁡θ\sin\theta = बिंदु का yy-निर्देशांक
  • tan⁡θ\tan\theta = अंतिम किरण की प्रवणता

मुख्य गुणधर्म:

  • sin⁡\sin और cos⁡\cos का परिसर [−1,1][-1, 1] और आवर्त 2π2\pi है
  • tan⁡\tan का परिसर (−∞,∞)(-\infty, \infty) और आवर्त π\pi है
  • tan⁡θ\tan\theta अपरिभाषित है जब cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (π2+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi पर)

व्युत्क्रम फलन हैं:
csc⁡θ=1sin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

ये छह फलन त्रिकोणमिति की नींव बनाते हैं और गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी, और संकेत प्रसंस्करण में सर्वत्र प्रकट होते हैं।

Sin, Cos, और Tan का मान कैसे निकालें

विधि 1: इकाई वृत्त (यथार्थ मान)

इकाई वृत्त पर मुख्य कोण और उनके निर्देशांक याद करें:

कोणsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
00001100
π6\frac{\pi}{6} (30°)12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13\frac{1}{\sqrt{3}}
π4\frac{\pi}{4} (45°)22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
π3\frac{\pi}{3} (60°)32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
π2\frac{\pi}{2} (90°)1100अपरिभाषित

विधि 2: संदर्भ कोण

प्रथम चतुर्थांश से परे के कोणों के लिए:

  1. संदर्भ कोण (xx-अक्ष से न्यूनकोण) ज्ञात करें
  2. चतुर्थांश से चिह्न निर्धारित करें (ASTC नियम: All, Sin, Tan, Cos)

ASTC नियम — कौन से फलन धनात्मक हैं:

  • चतुर्थांश I (0° से 90°): सभी धनात्मक
  • चतुर्थांश II (90° से 180°): Sin धनात्मक
  • चतुर्थांश III (180° से 270°): Tan धनात्मक
  • चतुर्थांश IV (270° से 360°): Cos धनात्मक

उदाहरण: sin⁡(150°)\sin(150°) — संदर्भ कोण 180°−150°=30°180° - 150° = 30° है। चतुर्थांश II में, ज्या धनात्मक है: sin⁡(150°)=+sin⁡(30°)=12\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}।

विधि 3: योग और अंतर सूत्र

अमानक कोणों के लिए, ज्ञात कोणों में वियोजित करें:

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

उदाहरण: cos⁡(75°)=cos⁡(45°+30°)=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=6−24\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

विधि 4: आलेखन रूपांतरण

y=Asin⁡(Bx+C)+Dy = A\sin(Bx + C) + D के लिए:

  • ∣A∣|A| = आयाम
  • 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = आवर्त
  • −CB-\frac{C}{B} = कला विस्थापन
  • DD = ऊर्ध्वाधर विस्थापन

तुलना: प्रत्येक विधि का प्रयोग कब करें

विधिकिसके लिए सर्वोत्तममुख्य संकेतक
इकाई वृत्तमानक कोण30°, 45°, 60° के गुणज
संदर्भ कोणकोई भी चतुर्थांशकोण > 90° या ऋणात्मक
योग/अंतरअमानक यथार्थ मानकोण = मानक कोणों का योग
कैलकुलेटरदशमलव सन्निकटनस्वेच्छ कोण

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • गलत चतुर्थांश चिह्न: cos⁡(120°)=−12\cos(120°) = -\frac{1}{2}, न कि +12+\frac{1}{2}। हमेशा जाँचें कि कौन सा चतुर्थांश चिह्न निर्धारित करता है।
  • डिग्री और रेडियन को भ्रमित करना: sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0 (रेडियन), परंतु sin⁡(180)≈−0.80\sin(180) \approx -0.80 यदि 180 रेडियन के रूप में व्याख्या की जाए। इकाइयों के साथ सुसंगत रहें।
  • tan अपरिभाषित होना भूलना: tan⁡(90°)\tan(90°) और tan⁡(270°)\tan(270°) अपरिभाषित हैं (ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी), शून्य या अनंत नहीं।
  • योग सूत्र का गलत अनुप्रयोग: sin⁡(A+B)≠sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B। आपको सही प्रसार का प्रयोग करना होगा।
  • संदर्भ कोण त्रुटियाँ: संदर्भ कोण हमेशा xx-अक्ष से मापा जाता है (yy-अक्ष से नहीं), और हमेशा धनात्मक तथा न्यूनकोण होता है।

Examples

Step 1: 5π6\frac{5\pi}{6} चतुर्थांश II में है (π2\frac{\pi}{2} और π\pi के बीच)
Step 2: संदर्भ कोण: π−5π6=π6\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
Step 3: चतुर्थांश II में ज्या धनात्मक है: sin⁡5π6=+sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = +\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
Answer: 12\frac{1}{2}

Step 1: 315°315° चतुर्थांश IV में है (270°270° और 360°360° के बीच)
Step 2: संदर्भ कोण: 360°−315°=45°360° - 315° = 45°
Step 3: चतुर्थांश IV में कोज्या धनात्मक है: cos⁡(315°)=+cos⁡(45°)=22\cos(315°) = +\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Answer: 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Step 1: 2π3\frac{2\pi}{3} चतुर्थांश II में है (π2\frac{\pi}{2} और π\pi के बीच)
Step 2: संदर्भ कोण: π−2π3=π3\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
Step 3: चतुर्थांश II में स्पर्शज्या ऋणात्मक है: tan⁡2π3=−tan⁡π3=−3\tan\frac{2\pi}{3} = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}
Answer: −3-\sqrt{3}

Frequently Asked Questions

इकाई वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 वाला एक वृत्त है। किसी भी कोण theta के लिए, वृत्त पर बिंदु का x-निर्देशांक cos(theta) और y-निर्देशांक sin(theta) है। यह सभी कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने का एक तरीका प्रदान करता है, केवल समकोण त्रिभुजों वालों के लिए नहीं।

ASTC (कभी-कभी 'All Students Take Calculus' के रूप में याद किया जाता है) आपको बताता है कि प्रत्येक चतुर्थांश में कौन से त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक हैं। चतुर्थांश I में सभी धनात्मक हैं, II में केवल ज्या, III में केवल स्पर्शज्या, और IV में केवल कोज्या। अन्य फलन ऋणात्मक हैं।

एक समकोण त्रिभुज में: ज्या सम्मुख बटा कर्ण है, कोज्या आसन्न बटा कर्ण है, और स्पर्शज्या सम्मुख बटा आसन्न है (या समतुल्य रूप से sin/cos)। ये एक ही त्रिभुज के भिन्न अनुपात मापते हैं और इनके भिन्न आलेख, आवर्त, और परिसर होते हैं।

रेडियन पाने हेतु डिग्री को pi/180 से गुणा करें। डिग्री पाने हेतु रेडियन को 180/pi से गुणा करें। मुख्य समतुल्यताएँ: 180 डिग्री = pi रेडियन, 90 डिग्री = pi/2, 360 डिग्री = 2pi।

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