AI Math
ऐप खोलें

प्रतिलोम त्रिकोणमिति कैलकुलेटर

चरण-दर-चरण समाधानों के साथ arcsin, arccos, और arctan का मान निकालें

खींचें और छोड़ें या क्लिक करें छवियाँ या PDF जोड़ने के लिए

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं?

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन मानक त्रिकोणमितीय फलनों को उलट देते हैं। एक अनुपात दिया हो, तो वे कोण लौटाते हैं:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन एकैकी नहीं हैं, हम उचित प्रतिलोम परिभाषित करने हेतु उनके प्रांतों को प्रतिबंधित करते हैं:

फलनप्रांतपरिसर (मुख्य मान)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

वैकल्पिक संकेतन: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x), cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x), tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (ध्यान दें: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x})।

मुख्य संबंध:

  • सभी x∈[−1,1]x \in [-1, 1] के लिए arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}
  • सभी xx के लिए arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाकलन (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C), ज्यामिति, नौसंचालन, और भौतिकी में प्रकट होते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का मान कैसे निकालें

विधि 1: ज्ञात मानों का प्रयोग

मानक मानों के लिए, इकाई वृत्त को उल्टा प्रयोग करें:

arcsin⁡(12)=π6क्योंकि sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{क्योंकि } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

सामान्य यथार्थ मान:

निवेशarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

विधि 2: समकोण त्रिभुज विधि

cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})) जैसे संयोजनों का मान निकालने के लिए:

  1. मान लें θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}), अतः sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. एक समकोण त्रिभुज खींचें: सम्मुख =3= 3, कर्ण =5= 5
  3. आसन्न =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 ज्ञात करें (पाइथागोरस प्रमेय)
  4. अतः cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

विधि 3: बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

सरलीकरण हेतु उपयोगी सर्वसमिकाएँ:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

विधि 4: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

ये कलन के लिए आवश्यक हैं:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

दृष्टिकोणों की तुलना

विधिकिसके लिए सर्वोत्तममुख्य संकेतक
ज्ञात मानमानक अनुपातनिवेश 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 है
समकोण त्रिभुजसंयोजनcos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot)) प्रकार के व्यंजक
सर्वसमिकाएँबीजगणितीय सरलीकरणप्रतिलोम त्रिकोणमिति विलुप्त करना आवश्यक
कैलकुलेटरअमानक दशमलवकोई यथार्थ रूप प्रत्याशित नहीं

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) को 1sin⁡x\frac{1}{\sin x} से भ्रमित करना: संकेतन sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) का अर्थ arcsin है, cosecant नहीं। भ्रम से बचने हेतु संदर्भ का प्रयोग करें या "arc" संकेतन वरीय रखें।
  • मुख्य मान परिसरों की उपेक्षा: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}, न कि 11π6\frac{11\pi}{6}। उत्तर परिभाषित परिसर [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] में होना चाहिए।
  • निरसन गलत ढंग से लागू करना: x∈[−1,1]x \in [-1,1] के लिए sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, परंतु arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x केवल तभी जब x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]। इस परिसर के बाहर, आपको उचित चिह्न के साथ संदर्भ कोण मिलता है।
  • प्रांत त्रुटियाँ: arcsin⁡(2)\arcsin(2) और arccos⁡(−3)\arccos(-3) वास्तविक संख्याओं में अपरिभाषित हैं क्योंकि उनके प्रांत [−1,1][-1, 1] हैं।
  • पाइथागोरस चरण में गलत चिह्न: समकोण त्रिभुज विधि का प्रयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि आप मुख्य मान परिसर से निहित चतुर्थांश के आधार पर सही चिह्न लें।

Examples

Step 1: हमें ऐसा θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] चाहिए कि cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: हम जानते हैं cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}। चूँकि कोज्या ऋणात्मक है, θ\theta द्वितीय चतुर्थांश में है
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: मान लें θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3}, अतः tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} जहाँ θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: समकोण त्रिभुज खींचें: सम्मुख =4= 4, आसन्न =3= 3, कर्ण =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=सम्मुखकर्ण=45\sin\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: पहले sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4} परिकलित करें। यह कोण संदर्भ कोण π4\frac{\pi}{4} के साथ तृतीय चतुर्थांश में है: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: अब arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) ज्ञात करें: हमें ऐसा θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] चाहिए कि sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (प्रतिबंधित परिसर के चतुर्थ चतुर्थांश में)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) उत्तर देता है 'किस कोण की ज्या x है?' इसी तरह arccos और arctan के लिए। ये sin, cos, और tan की प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं। उदाहरण के लिए, arcsin(1/2) = 30 डिग्री (या pi/6 रेडियन) क्योंकि sin(30 डिग्री) = 1/2।

चूँकि ज्या, कोज्या, और स्पर्शज्या आवर्ती हैं, प्रत्येक निर्गत मान अनंत कोणों से संगत होता है। प्रतिलोम को एक उचित फलन (प्रति निवेश एक निर्गत) बनाने हेतु, हम एक मुख्य मान परिसर तक प्रतिबंधित करते हैं। arcsin के लिए यह [-pi/2, pi/2] है, arccos के लिए [0, pi] है, और arctan के लिए (-pi/2, pi/2) है।

नहीं। sin^(-1)(x) का अर्थ arcsin(x), प्रतिलोम फलन है। व्युत्क्रम 1/sin(x) को csc(x) (cosecant) लिखा जाता है। अस्पष्ट घातांक संकेतन के कारण यह भ्रम का एक सामान्य स्रोत है।

Arcsin और arccos केवल -1 और 1 के बीच सहित निवेश स्वीकार करते हैं, क्योंकि ज्या और कोज्या कभी उन सीमाओं से अधिक नहीं होतीं। Arctan किसी भी वास्तविक संख्या को निवेश के रूप में स्वीकार करता है क्योंकि स्पर्शज्या कोई भी वास्तविक मान उत्पन्न कर सकती है।

Related Solvers

त्रिकोणमिति कैलकुलेटरSin Cos Tan कैलकुलेटरअवकलज कैलकुलेटरसमाकलन कैलकुलेटर
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving