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त्रिसमाकल कैलकुलेटर

AI-संचालित चरण-दर-चरण समाधानों के साथ आयताकार, बेलनाकार, या गोलीय निर्देशांकों में त्रिसमाकल का मान निकालें

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

त्रिसमाकल क्या है?

एक त्रिसमाकल एकल और द्विसमाकलों की संकल्पना को तीन विमाओं तक विस्तारित करता है। एक ठोस क्षेत्र E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 पर परिभाषित फलन f(x,y,z)f(x, y, z) के लिए:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

EE पर ff का कुल संचयन देता है। अतिसूक्ष्म आयतन अवयव dVdV कार्तीय निर्देशांकों में dx dy dzdx\,dy\,dz बनता है, परंतु EE की ज्यामिति के आधार पर पुनर्लिखित किया जा सकता है।

सामान्य भौतिक अर्थ:

  • यदि f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, तो समाकल EE का आयतन देता है।
  • यदि f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) एक घनत्व है, तो यह कुल द्रव्यमान देता है।
  • आघूर्ण, द्रव्यमान केंद्र, और जड़त्व आघूर्ण सभी भारित घनत्व फलनों के त्रिसमाकल हैं।

एक त्रिसमाकल का मान निकालने की कुंजी सही निर्देशांक प्रणाली चुनना और सीमाएँ सही ढंग से स्थापित करना है।

त्रिसमाकल कैसे स्थापित करें और मान निकालें

चरण 1: निर्देशांक चुनें

क्षेत्र ज्यामितिसर्वोत्तम निर्देशांकआयतन अवयव
बक्सा / सामान्यआयताकार (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
बेलनाकार सममितिबेलनाकार (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
गोलीय सममितिगोलीय (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

चरण 2: सीमाएँ स्थापित करें

समाकलन का क्रम निर्धारित करने के लिए क्षेत्र को एक निर्देशांक तल पर प्रक्षेपित करें। ऊपर z=g2(x,y)z = g_2(x,y) और नीचे z=g1(x,y)z = g_1(x,y) से परिबद्ध प्रकार-I ठोस के लिए:

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

चरण 3: पुनरावृत्त रूप से मान निकालें

सबसे भीतरी को पहले समाकलित करें, बाहरी चरों को अचर मानते हुए। फिर बाहर की ओर बढ़ें।

बेलनाकार निर्देशांक

प्रतिस्थापन x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z का प्रयोग करें:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

rr का अतिरिक्त गुणनखंड याकोबियन सारणिक से आता है।

गोलीय निर्देशांक

x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi का प्रयोग करें:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

याकोबियन ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi क्रांतिक है — इसे भूलना सबसे सामान्य एकल त्रुटि है।

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • याकोबियन भूलना: बेलनाकार को rr का गुणनखंड मिलता है, गोलीय को ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi। इसे छोड़ने से हर बार गलत उत्तर मिलता है।
  • गलत सीमा क्रम: सबसे भीतरी सीमाएँ बाहरी चरों पर निर्भर हो सकती हैं, परंतु सबसे बाहरी सीमाएँ अचर होनी चाहिए। इसे उलटने से बेतुका परिणाम उत्पन्न होता है।
  • sin⁡φ\sin\varphi के साथ चिह्न त्रुटियाँ: गोलीय में, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (अतः sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0)। φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] का प्रयोग गलत है।
  • परिपाटियों को मिलाना: कुछ पुस्तकें ध्रुवीय कोण के लिए φ\varphi का प्रयोग करती हैं (z-अक्ष से), अन्य दिगंशीय कोण के लिए। एक परिपाटी के साथ सुसंगत रहें।
  • क्षेत्र का रेखाचित्र न बनाना: अतुच्छ ठोसों के लिए, एक त्वरित रेखाचित्र आपको असंभव सीमाओं से बचाता है।

Examples

Step 1: पुनरावृत्त समाकल स्थापित करें: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: zz पर समाकलन करें: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: yy पर समाकलन करें: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: xx पर समाकलन करें: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: गोलीय में: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: आयतन = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: आंतरिक: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: मध्य: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: बाहरी: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: गुणनफल: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: बेलनाकार में बदलें: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: समाकल = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: आंतरिक: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: मध्य: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: बाहरी: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

बेलनाकार का प्रयोग तब करें जब क्षेत्र में z-अक्ष के परितः घूर्णन सममिति हो परंतु कोई विशेष त्रिज्यीय संरचना न हो (बेलन, परवलयज, चक्रिका के ऊपर/नीचे शंकु)। गोलीय का प्रयोग तब करें जब क्षेत्र गोलों, मूल बिंदु से शंकुओं से परिबद्ध हो, या पूर्ण 3D त्रिज्यीय सममिति हो (गोले, गोलीय कोश)।

याकोबियन वह सारणिक है जो निर्देशांक बदलते समय आयतन अवयव को समायोजित करता है। बेलनाकार में यह r के बराबर है, गोलीय में यह ρ² sin φ के बराबर है। इसके बिना, समाकल गलत आयतन मापता है।

क्षेत्र देखें: अन्य पर निर्भर सीमाओं वाले चर (सबसे भीतरी) को पहले समाकलित करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। सबसे बाहरी चर की अचर सीमाएँ होनी चाहिए। यदि एक क्रम बदसूरत सीमाओं की ओर ले जाए, तो क्षेत्र के रेखाचित्र का उपयोग करके क्रम बदलें।

हाँ, यदि समाकल्य ऋणात्मक हो सकता हो। आयतन गणनाओं के लिए समाकल्य 1 होता है और उत्तर हमेशा धनात्मक होता है। चिह्नित फ्लक्स या निवल बल जैसी भौतिक राशियों के लिए, ऋणात्मक मान संभव और सार्थक हैं।

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