अभिसरण त्रिज्या क्या है?

अभिसरण त्रिज्या R किसी घात श्रेणी के केंद्र से वह दूरी है जिसके भीतर श्रेणी अभिसरित होती है। |x - a| R के लिए यह अपसरित होती है, और |x - a| = R पर आपको अंतबिंदुओं को व्यक्तिगत रूप से जाँचना होता है।

अभिसरण त्रिज्या क्या है?

अभिसरण त्रिज्या R किसी घात श्रेणी के केंद्र से वह दूरी है जिसके भीतर श्रेणी अभिसरित होती है। |x - a| R के लिए यह अपसरित होती है, और |x - a| = R पर आपको अंतबिंदुओं को व्यक्तिगत रूप से जाँचना होता है।

श्रेणी कैलकुलेटर

श्रेणी क्या है?

एक श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग है। एक अनंत श्रेणी का रूप होता है:

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

आंशिक योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ होते हैं। यदि आंशिक योगों का अनुक्रम एक परिमित सीमा $S$ की ओर अभिसरित होता है, तो हम कहते हैं कि श्रेणी अभिसारी है और $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ । अन्यथा, श्रेणी अपसारी है।

गुणोत्तर श्रेणी: श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ , $|r| < 1$ होने पर $\frac{a}{1-r}$ की ओर अभिसरित होती है।

p-श्रेणी: श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ , $p > 1$ होने पर अभिसरित होती है और $p \leq 1$ होने पर अपसरित होती है।

घात श्रेणी: $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$ रूप की एक श्रेणी जो अपने अभिसरण त्रिज्या के भीतर एक फलन निरूपित करती है।

टेलर श्रेणी: $x = a$ के परितः $f(x)$ का घात श्रेणी प्रसार:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

जब $a = 0$ , इसे मैक्लॉरिन श्रेणी कहते हैं।

अभिसरण कैसे निर्धारित करें

अपसरण परीक्षण (n-वाँ-पद परीक्षण)

यदि $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ , तो श्रेणी अपसरित होती है। ध्यान दें: यदि सीमा 0 हो, तो परीक्षण अनिर्णायक है।

अनुपात परीक्षण

$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ परिकलित करें:

यदि $L < 1$ : निरपेक्ष रूप से अभिसरित
यदि $L > 1$ : अपसरित
यदि $L = 1$ : अनिर्णायक

मूल परीक्षण

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ परिकलित करें। अनुपात परीक्षण के समान निष्कर्ष नियम।

समाकल परीक्षण

यदि $f(n) = a_n$ जहाँ $f$ , $x \geq 1$ के लिए धनात्मक, संतत, और ह्रासमान हो:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ अभिसरित } \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ अभिसरित}$

तुलना परीक्षण

यदि सभी $n$ के लिए $0 \leq a_n \leq b_n$ :

यदि $\sum b_n$ अभिसरित हो, तो $\sum a_n$ अभिसरित होती है
यदि $\sum a_n$ अपसरित हो, तो $\sum b_n$ अपसरित होती है

एकांतर श्रेणी परीक्षण (लाइब्निज परीक्षण)

एकांतर श्रेणी $\sum (-1)^n b_n$ अभिसरित होती है यदि:

सभी $n$ के लिए $b_n > 0$
$b_n$ ह्रासमान है
$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

सामान्य टेलर/मैक्लॉरिन श्रेणी

फलन	मैक्लॉरिन श्रेणी	त्रिज्या
$e^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$	$\infty$
$\sin x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$\infty$
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$	$1$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$	$1$

सही परीक्षण चुनना

परीक्षण	किसके लिए सर्वोत्तम	मुख्य संकेतक
अपसरण	त्वरित निराकरण	पद स्पष्टतः 0 की ओर नहीं पहुँचते
अनुपात	क्रमगुणित, चरघातांकी	पदों में $n!$ या $r^n$
मूल	n-वीं घातें	$a_n = [f(n)]^n$
समाकल	सरल ह्रासमान फलन	$a_n = f(n)$ आसानी से समाकलित
तुलना	पद ज्ञात श्रेणियों से मिलते-जुलते	p-श्रेणी या गुणोत्तर जैसा दिखता है
एकांतर	चिह्न-एकांतर श्रेणी	$(-1)^n$ गुणनखंड

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

अपसरण परीक्षण का दुरुपयोग: यदि $\lim a_n = 0$ , तो यह अभिसरण सिद्ध नहीं करता। हरात्मक श्रेणी $\sum 1/n$ अपसरित होती है भले ही $1/n \to 0$ ।
L = 1 होने पर अनुपात परीक्षण लागू करना: जब अनुपात सीमा 1 के बराबर हो, परीक्षण कोई सूचना नहीं देता। आपको एक भिन्न परीक्षण का प्रयोग करना होगा।
निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण में भ्रम: एक श्रेणी सशर्त रूप से अभिसरित हो सकती है (एकांतर हरात्मक श्रेणी की तरह) बिना निरपेक्ष रूप से अभिसरित हुए।
गलत अभिसरण त्रिज्या: अभिसरण अंतराल ज्ञात करते समय अंतबिंदुओं को अलग से जाँचना न भूलें।
टेलर श्रेणी शेषफल: टेलर बहुपद केवल एक सन्निकटन है; परिमित पदों के लिए, एक शेषफल पद होता है जिसकी सीमा परिशुद्धता के लिए मायने रखती है।

Examples

Step 1: अनुपात परीक्षण लागू करें:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}

Step 2:

L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1

, अतः श्रेणी अभिसरित होती है

Step 3: योग ज्ञात करने के लिए, सूत्र

\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}

का प्रयोग करें जहाँ

x = \frac{1}{2}

:

\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2

Answer:

2

Step 1: गुणोत्तर श्रेणी से प्रारंभ करें:

|t| < 1

के लिए

\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n

Step 2:

t = -x^2

प्रतिस्थापित करें:

\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n

Step 3: सरल करें:

|x| < 1

के लिए

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots

Answer:

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}

,

|x| < 1

के लिए वैध

Step 1: यह

b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}

वाली एक एकांतर श्रेणी है

Step 2: जाँचें:

b_n > 0

✓,

b_n

ह्रासमान है ✓,

\lim_{n \to \infty} b_n = 0

✓

Step 3: एकांतर श्रेणी परीक्षण द्वारा, श्रेणी अभिसरित होती है (सशर्त, क्योंकि

\sum \frac{1}{\sqrt{n}}

,

p = 1/2 < 1

वाली p-श्रेणी के रूप में अपसरित होती है)

Answer: श्रेणी सशर्त रूप से अभिसरित होती है

Frequently Asked Questions

एक श्रेणी अभिसरित होती है यदि आपके अधिक पद जोड़ने पर उसके आंशिक योग एक परिमित संख्या के निकट पहुँचते हैं। एक श्रेणी अपसरित होती है यदि आंशिक योग बिना सीमा बढ़ते हैं या किसी मान पर स्थिर हुए बिना दोलन करते हैं।

टेलर श्रेणी का प्रयोग जटिल फलनों को बहुपदों से सन्निकट करने के लिए होता है, जिससे उन्हें परिकलित, अवकलित, या समाकलित करना आसान हो जाता है। ये किसी विशिष्ट बिंदु के निकट फलनों को सन्निकट करने हेतु भौतिकी, अभियांत्रिकी, और संख्यात्मक विश्लेषण में मौलिक हैं।

अभिसरण त्रिज्या R किसी घात श्रेणी के केंद्र से वह दूरी है जिसके भीतर श्रेणी अभिसरित होती है। |x - a| < R के लिए श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, |x - a| > R के लिए यह अपसरित होती है, और |x - a| = R पर आपको अंतबिंदुओं को व्यक्तिगत रूप से जाँचना होता है।

नहीं। हरात्मक श्रेणी, जो n=1 से अनंत तक 1/n का योग है, अपसरित होती है। यद्यपि पद शून्य की ओर पहुँचते हैं, वे योग के परिमित बने रहने हेतु पर्याप्त तेज़ी से नहीं घटते। यह एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो दर्शाता है कि पदों का शून्य की ओर जाना अभिसरण के लिए आवश्यक है परंतु पर्याप्त नहीं।

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श्रेणी कैलकुलेटर

चरण-दर-चरण समाधानों के साथ अभिसरण विश्लेषित करें, योग परिकलित करें, और टेलर/मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसारित करें

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सामान्य टेलर/मैक्लॉरिन श्रेणी

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बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

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Frequently Asked Questions

अभिसरण और अपसरण में क्या अंतर है?

टेलर श्रेणी का प्रयोग किसके लिए होता है?

अभिसरण त्रिज्या क्या है?

क्या हरात्मक श्रेणी अभिसरित होती है?

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