टेलर श्रेणी कैलकुलेटर

एक टेलर श्रेणी किसी फलन को एक अनंत बहुपद के रूप में निरूपित करती है जो एक एकल बिंदु $a$ पर फलन के अवकलजों से निर्मित होता है:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

जब $a = 0$, श्रेणी को मैक्लॉरिन श्रेणी कहते हैं:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

यह क्यों मायने रखता है: टेलर श्रेणी संभवतः कठिन फलनों ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) पर गणनाओं को बहुपदों पर गणनाओं में बदल देती है, जिन्हें कंप्यूटर और मनुष्य संभाल सकते हैं। ये संख्यात्मक विधियों, अनंतस्पर्शी प्रसारों, और सन्निकटन सिद्धांत की नींव हैं।

घात $n$ का टेलर बहुपद वह आंशिक योग है जो $(x-a)^n$ तक के पद रखता है। यह एक सटीक अर्थ में $a$ के निकट $f$ का सर्वोत्तम बहुपद सन्निकटन है (मान और प्रथम $n$ अवकलज मिलाते हुए)।

चरण 1: प्रसार बिंदु पर अवकलज परिकलित करें

$f(x)$ और प्रसार बिंदु $a$ के लिए, $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$ परिकलित करें।

चरण 2: सूत्र में प्रतिस्थापित करें

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

याद करने योग्य सामान्य मैक्लॉरिन श्रेणी

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

अभिसरण त्रिज्या

एक टेलर श्रेणी $a$ के परितः एक अभिसरण त्रिज्या $R$ के भीतर ही अभिसरित होती है। इसे अनुपात परीक्षण का उपयोग करके ज्ञात करें:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

इस त्रिज्या के बाहर, श्रेणी अपसरित होती है और फलन को निरूपित नहीं करती। भीतर, अभिसरण सामान्यतः सुसंहत उपसमुच्चयों पर एकसमान होता है।

ज्ञात श्रेणियों का हेरफेर

गति के लिए, शुरू से अवकलज परिकलित करने के बजाय ज्ञात श्रेणियों को प्रतिस्थापित, अवकलित, या समाकलित करें:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ ($e^x$ में $-x^2$ प्रतिस्थापित करें)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• क्रमगुणित भूलना: $n$-वें पद में एक $\frac{1}{n!}$ होता है, केवल अवकलज नहीं। इसे छोड़ने से अत्यंत गलत उत्तर मिलता है।
• अभिसरण त्रिज्या के बाहर श्रेणी का प्रयोग: $\frac{1}{1-x}$, $\sum x^n$ के बराबर नहीं होता जब $|x| > 1$ — वहाँ श्रेणी अपसरित होती है।
• $a$ पर केंद्रित करना भूलना: $a$ के परितः एक टेलर श्रेणी $(x-a)$ की घातों का उपयोग करती है, $x$ की नहीं।
• घात और पदों की संख्या में भ्रम: एक घात-$n$ टेलर बहुपद में $n+1$ पद होते हैं (घात $0$ से $n$ तक)।
• प्रतिस्थापन चिह्न त्रुटियाँ: $\sin(-x) = -\sin(x)$, अतः $\sin(-x)$ की श्रेणी में $\sin(x)$ की तुलना में एकांतर चिह्न उलटे होते हैं।