यदि अवकलज किसी बिंदु पर एक फलन का ढाल पकड़ते हैं, तो टेलर श्रेणी किसी बिंदु पर पूरे फलन को पकड़ती है — अनंत संख्या में अवकलजों को एक के ऊपर एक रखकर। ये कैलकुलस और संख्यात्मक संगणना के बीच का सेतु हैं: हर बार जब आपका कैलकुलेटर $\sin(0.4)$ निकालता है, तो वह भीतर ही भीतर एक टेलर श्रेणी का योग कर रहा होता है।

टेलर श्रेणी का सूत्र

$x = a$ पर केंद्रित एक फलन $f$ की टेलर श्रेणी है:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

यानी: बिंदु $a$ पर $f$ , $f'$ , $f''$ , $f'''$ , … का मान निकालें, फिर एक बहुपद बनाएँ जिसका $n$ -वाँ पद $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ हो।

जब $a = 0$ होता है, तो श्रेणी को मैकलॉरिन श्रेणी कहते हैं — सबसे आम स्थिति।

यह काम क्यों करता है?

बिंदु $a$ के आस-पास, एक फलन पहले अपनी स्पर्श रेखा जैसा दिखता है ( $n=1$ पद), फिर वक्रता सहित एक परवलय जैसा ( $n=2$ ), फिर एक घन, और इसी तरह। प्रत्येक उच्चतर अवकलज और भी सूक्ष्म आकार जानकारी पकड़ता है। अनंत रूप से अनेक जोड़ें और ("अच्छे" फलनों के लिए) आप $f$ को ठीक-ठीक वापस पा लेते हैं।

तीन क्लासिक मैकलॉरिन प्रसार

इन तीनों को रटें — ये लगातार सामने आते हैं:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

चरघातांकी की श्रेणी में सभी घात हैं; ज्या में केवल विषम घात; कोज्या में केवल सम घात। यह सममिति इस बात का सीधा परिणाम है कि $0$ पर कौन-से अवकलज शून्य होते हैं।

हल किया गया उदाहरण: $\sin x$ को शून्य से बनाना

मान लें $f(x) = \sin x$ । $a = 0$ पर:

$f(0) = 0$
$f'(0) = \cos(0) = 1$
$f''(0) = -\sin(0) = 0$
$f'''(0) = -\cos(0) = -1$
$f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
यह पैटर्न हर 4 अवकलजों के बाद दोहराता है।

टेलर सूत्र में रखें:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
जो सरल होकर $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$ बनता है। ऊपर दिए सूत्र के समान।

व्यवहार में सन्निकटन

0 के निकट छोटे $x$ के लिए, पहले कुछ पद भी अत्यंत सटीक होते हैं:

$\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (वास्तविक मान: $0.0998334\dots$ )।

यही कारण है कि लघु-कोण सन्निकटन $\sin x \approx x$ मान्य है: जब $x$ छोटा हो तो अगला पद नगण्य होता है।

अभिसरण — यह वास्तव में $f$ के बराबर कब होता है?

टेलर श्रेणियों का एक अभिसरण त्रिज्या $R$ होती है। $|x - a| < R$ के लिए श्रेणी $f(x)$ के बराबर होती है; इसके बाहर श्रेणी अपसरित होती है। कुछ फलनों ( $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ) के लिए $R = \infty$ होता है। अन्य, जैसे 0 पर केंद्रित $1/(1-x)$ , के लिए $R = 1$ होता है।

आम गलतियाँ

क्रमगुणित हर $n!$ भूल जाना।
श्रेणी प्रसारों को आपस में गड़बड़ाना — ज्या में विषम, कोज्या में सम, $e^x$ में सभी।
अभिसरण मान लेना बिना त्रिज्या जाँचे।

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किसी भी फलन के लिए टेलर प्रसार निकालने के लिए श्रेणी कैलकुलेटर का उपयोग करें — यह अवकलज चरण, परिणामी बहुपद, और एक संख्यात्मक जाँच दिखाता है।

टेलर श्रेणी की व्याख्या: किसी भी फलन को बहुपदों से सन्निकट करना