प्रायिकता की मूल बातें: नियम, संचय-क्रमचय, और उदाहरण

प्रायिकता अनिश्चितता को मापती है। अच्छी खबर: अधिकांश गृहकार्य समस्याएँ कुछ नियमों के एक छोटे समूह और ध्यान से गिनने की इच्छा तक सिमट जाती हैं। यह मार्गदर्शिका वह आधार बताती है जो आपको बंटन, परिकल्पना परीक्षण, या बेज़ अनुमान की ओर बढ़ने से पहले चाहिए।

"प्रायिकता" का क्या अर्थ है

किसी घटना $A$ की प्रायिकता है

$P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$

यह मानते हुए कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं। $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = असंभव।
• $1$ = निश्चित।
• $0.5$ = एक सिक्का उछाल।

समान-संभावित न होने वाले परिणामों के लिए, आप प्रत्येक परिणाम को भार देते हैं (प्रायिकता बंटन यही करता है)।

तीन मुख्य नियम

योग नियम (A या B की प्रायिकता)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

प्रतिच्छेदन घटाएँ ताकि आप दोहरी गणना न करें। यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं (दोनों एक साथ नहीं हो सकते), तो प्रतिच्छेदन शून्य है।

उदाहरण: 52-पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकालना, $P(\text{बादशाह या पान}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$। (एक पत्ता बादशाह और पान दोनों है, इसलिए घटाव।)

गुणन नियम (A और B की प्रायिकता)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं (एक दूसरे को प्रभावित नहीं करता), तो $P(B | A) = P(B)$, जो $P(A) \cdot P(B)$ में सरल हो जाता है।

उदाहरण: दो पासे फेंकना, $P(\text{दोनों 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$। (फेंक स्वतंत्र हैं।)

सशर्त प्रायिकता

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$A$ के घटित होने को देखते हुए $B$ की प्रायिकता। बेज़ प्रमेय और अधिकांश आगमनात्मक सांख्यिकी का आधार।

उदाहरण: निकाला गया पत्ता एक तस्वीर वाला पत्ता है। इसके बादशाह होने की प्रायिकता क्या है?

• $P(\text{बादशाह और तस्वीर पत्ता}) = 4/52$।
• $P(\text{तस्वीर पत्ता}) = 12/52$।
• $P(\text{बादशाह | तस्वीर}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$।

गिनती: क्रमचय और संचय

$n$ वस्तुओं में से $r$ चुनने के लिए:

• क्रमचय (क्रम मायने रखता है): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$।
• संचय (क्रम मायने नहीं रखता): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$।

निर्णय यह है कि "क्या मेरी चुनी हुई दो वस्तुओं को आपस में बदलने से अलग परिणाम मिलता है?":

• हाँ (जैसे स्वर्ण बनाम रजत पदक) → क्रमचय।
• नहीं (जैसे 5-व्यक्ति समिति चुनना) → संचय।

हल किया उदाहरण: लॉटरी

49 में से 6 संख्याएँ चुनें। आपकी टिकट पर क्रम मायने नहीं रखता — संचय।

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

अतः $P(\text{6-संख्या जैकपॉट जीतना}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$।

स्वतंत्र बनाम परस्पर अपवर्जी (इन्हें भ्रमित न करें!)

• स्वतंत्र: $A$ को जानने से $P(B)$ नहीं बदलता। सिक्का उछाल स्वतंत्र हैं।
• परस्पर अपवर्जी: $A$ और $B$ दोनों एक साथ नहीं हो सकते। पासा फेंकने पर वह 1 और 2 दोनों नहीं हो सकता।

दो घटनाएँ एक, दूसरी, दोनों, या कोई भी नहीं हो सकती हैं। आम भ्रम के बावजूद वे एक ही अवधारणा नहीं हैं।

सामान्य गलतियाँ

• जुआरी की भ्रांति: "मैंने लगातार 5 चित उछाले हैं, तो अगला अवश्य पट होगा।" सिक्का उछाल स्वतंत्र हैं — भूतकाल भविष्य की प्रायिकता नहीं बदलता।
• गैर-परस्पर-अपवर्जी प्रायिकताओं को जोड़ना बिना प्रतिच्छेदन घटाए। $P(\text{बादशाह}) + P(\text{पान}) \neq P(\text{बादशाह या पान})$।
• $P(A | B)$ को $P(B | A)$ से गड्डमड्ड करना। शास्त्रीय अभियोजक की भ्रांति: "यह देखते हुए कि प्रतिवादी निर्दोष है, इस साक्ष्य की संभावना कम है; अतः साक्ष्य को देखते हुए, निर्दोष होने की संभावना कम है।" बेज़ प्रमेय लागू किए बिना तार्किक रूप से गलत।

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संबंधित:

• शब्दावली: बेज़ प्रमेय
• तुलना: क्रमचय बनाम संचय
• सांख्यिकी सूत्र चीट शीट