क्रमचय बनाम संचय

क्रमचय और संचय लगभग एक जैसे दिखते हैं जब तक आप एक प्रश्न न पूछें: क्या क्रम मायने रखता है? इसे गलत समझें तो आपका प्रायिकता उत्तर $r!$ या उससे अधिक के गुणक से गलत हो जाएगा। यहाँ हल किए गए उदाहरणों के साथ साफ़ अंतर दिया गया है।

मूल प्रश्न: क्या क्रम मायने रखता है?

• हाँ, क्रम मायने रखता है → क्रमचय। 10 धावकों में से 1ला / 2रा / 3रा स्थान चुनना।
• नहीं, क्रम मायने नहीं रखता → संचय। 20 लोगों में से 5 लोगों की समिति चुनना।

समान 10 उम्मीदवार अलग-अलग उत्तर दे सकते हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि भूमिकाएँ भिन्न हैं या नहीं।

सूत्र

$n$ वस्तुओं में से $r$ चुनने के लिए:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

ध्यान दें कि संचय वही क्रमचय है जो $r!$ से विभाजित है — वह $r!$ चुनी गई वस्तुओं के क्रमणों को हटा देता है, क्योंकि संचय क्रम की परवाह नहीं करते।

हल किए गए उदाहरण

क्रमचय: दौड़ का विजेता मंच

दस धावक, तीन पदक स्थान (स्वर्ण, रजत, कांस्य)। क्रम मायने रखता है — स्वर्ण ≠ रजत।

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

संचय: लॉटरी संख्याएँ

49 में से 6 संख्याएँ चुनें — आपके टिकट पर क्रम मायने नहीं रखता।

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

समान संख्याएँ, अलग उत्तर

{A, B, C, D} में से 3 अक्षर चुनें।

• क्रमचय के रूप में (3-अक्षर के पासवर्ड): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... सभी भिन्न।
• संचय के रूप में (केवल 3 अक्षर चुनना): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

इनके बीच $3! = 6$ का गुणक ठीक वही $r!$ है जो सूत्र में है।

निर्णय का शॉर्टकट

संदेह हो तो पूछें: "यदि मैं अपनी चुनी हुई दो वस्तुओं को आपस में बदल दूँ, तो क्या परिणाम भिन्न होगा?"

• हाँ → क्रमचय
• नहीं → संचय

कप्तान और उप-कप्तान चुनना → अदला-बदली से बदलता है कि कप्तान कौन है → क्रमचय।
युगल के लिए 2 लोग चुनना → अदला-बदली से वही युगल → संचय।

सामान्य गलतियाँ

• जब प्रायिकता शामिल हो तो दोनों को मिला देना। हर (कुल परिणाम) और अंश (अनुकूल परिणाम) में समान गणना विधि का उपयोग होना चाहिए।
• $r!$ भाजक भूल जाना। यदि आप क्रमचय की गणना करते हैं जबकि आपको संचय चाहिए था, तो आप $r!$ के गुणक से अधिक गिन लेंगे।
• विभेद्य बनाम अविभेद्य वस्तुएँ। यदि कुछ वस्तुएँ समान हों (जैसे 5 लाल गेंदें और 3 नीली), तो कोई भी साधारण सूत्र लागू नहीं होता — आपको बहुपद गुणांक $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$ चाहिए।

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