प्रायिकता कैलकुलेटर

प्रायिकता मापती है कि किसी घटना के घटित होने की कितनी संभावना है। यह $0$ और $1$ के बीच एक संख्या के रूप में व्यक्त की जाती है (या समतुल्य रूप से, $0\%$ से $100\%$)।

$P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}}$

मुख्य संकल्पनाएँ

• प्रतिदर्श समष्टि $S$: सभी संभावित परिणामों का समुच्चय
• घटना $A$: प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय
• पूरक $A'$: वह घटना कि $A$ घटित नहीं होती; $P(A') = 1 - P(A)$

प्रायिकता के प्रकार

• सैद्धांतिक प्रायिकता: समान रूप से संभावित परिणामों के बारे में तर्क पर आधारित (जैसे, एक न्याय्य सिक्के का $P(\text{शीर्ष}) = \frac{1}{2}$)
• प्रायोगिक प्रायिकता: प्रयोगों से प्रेक्षित बारंबारताओं पर आधारित
• आत्मनिष्ठ प्रायिकता: व्यक्तिगत निर्णय या विशेषज्ञता पर आधारित

प्रायिकता नियम

• किसी भी घटना $A$ के लिए $0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$ (कुछ न कुछ घटित होना चाहिए)
• $P(\emptyset) = 0$ (असंभव घटना)

मूल प्रायिकता

समान रूप से संभावित परिणामों के लिए:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$

योग नियम (या)

इस प्रायिकता के लिए कि घटना $A$ या घटना $B$ घटित होती है:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं (एक साथ नहीं हो सकतीं):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

गुणन नियम (और)

इस प्रायिकता के लिए कि घटना $A$ और घटना $B$ दोनों घटित होती हैं:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

सप्रतिबंध प्रायिकता

$B$ के घटित होने पर $A$ की प्रायिकता:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

द्विपद प्रायिकता

$n$ स्वतंत्र परीक्षणों में, प्रत्येक प्रायिकता $p$ के साथ, ठीक $k$ सफलताओं की प्रायिकता:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

जहाँ $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

सारांश सारणी

• घटनाओं को स्वतंत्र मानना जब वे नहीं हैं — बिना प्रतिस्थापन के पत्ते निकालने से प्रत्येक निकासी के बाद प्रायिकताएँ बदल जाती हैं।
• योग नियम में अतिव्यापन घटाना भूलना — जब घटनाएँ एक साथ हो सकती हों, तो दोहरी-गणना से बचने हेतु आपको $P(A \cap B)$ घटाना होगा।
• "और" को "या" से भ्रमित करना — "और" का अर्थ दोनों घटनाएँ होती हैं (स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकताएँ गुणा करें); "या" का अर्थ कम से कम एक होती है (प्रायिकताएँ जोड़ें)।
• प्रतिदर्श समष्टि में सभी संभावित परिणामों पर विचार न करना — सुनिश्चित करें कि कुल को सही गिनें, विशेषकर संचयों और क्रमचयों के साथ।
• सप्रतिबंध प्रायिकता दिशा को भ्रमित करना — $P(A|B)$, $P(B|A)$ के समान नहीं है।