असमिकाएँ चीट गाइड: रैखिक, संयुक्त और निरपेक्ष मान

असमिकाएँ अनुकूलन, इंजीनियरिंग सहिष्णुता, और लगभग हर वास्तविक दुनिया की बाधा समस्या ("बजट … से अधिक नहीं होना चाहिए") में दिखाई देती हैं। यंत्रविधि समीकरण हल करने के समान है, एक महत्वपूर्ण मोड़ के साथ: किसी ऋणात्मक से गुणा या भाग करने पर असमिका चिह्न पलट जाता है। यह गाइड वह हर चाल जो आपको चाहिए एक ही पृष्ठ पर एकत्र करती है।

रैखिक असमिकाएँ

इन्हें ठीक रैखिक समीकरणों की तरह मानें — सिवाय इसके कि जब भी आप दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक से गुणा या भाग करें तो चिह्न पलट दें।

$-3x + 5 < 14$ हल करें:

1. 5 घटाएँ: $-3x < 9$।
2. $-3$ से भाग दें और पलटें: $x > -3$।

हल समुच्चय खुला अंतराल $(-3, \infty)$ है।

संयुक्त असमिकाएँ

एक संयुक्त असमिका दो सरल असमिकाओं को और (प्रतिच्छेदन) या या (संघ) के साथ जोड़ती है।

$-1 \le 2x - 3 < 5$ हल करें (एक "और" सैंडविच):

1. तीनों भागों में 3 जोड़ें: $2 \le 2x < 8$।
2. 2 से भाग दें: $1 \le x < 4$।

हल: $[1, 4)$।

$x < -2$ या $x \ge 5$ जैसी "या" असमिकाओं के लिए, हल दो असंयुक्त टुकड़े हैं: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$।

निरपेक्ष मान असमिकाएँ

तरकीब: $|A| < k$ को $-k < A < k$ के रूप में फिर से लिखा जाता है, जबकि $|A| > k$ को $A < -k$ या $A > k$ के रूप में फिर से लिखा जाता है।

$|2x - 1| \le 5$ हल करें:

1. फिर से लिखें: $-5 \le 2x - 1 \le 5$।
2. 1 जोड़ें: $-4 \le 2x \le 6$।
3. 2 से भाग दें: $-2 \le x \le 3$। हल $[-2, 3]$।

द्विघात असमिकाएँ

सब कुछ एक तरफ ले जाएँ, गुणनखंड करें, फिर प्रत्येक अंतराल पर चिह्न का परीक्षण करें।

$x^2 - x - 6 > 0$ हल करें:

1. गुणनखंड: $(x - 3)(x + 2) > 0$।
2. मूल रेखा को तीन अंतरालों में बाँटते हैं: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$।
3. प्रत्येक से एक बिंदु का परीक्षण करें: $x = -3$ पर गुणनफल धनात्मक है; $x = 0$ पर ऋणात्मक; $x = 4$ पर धनात्मक।
4. हल: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$।

सामान्य गलतियाँ

• किसी ऋणात्मक से भाग करते समय पलटना भूल जाना — सबसे बड़ी एकल त्रुटि।
• खुले और बंद कोष्ठकों को मिला देना: $<$ कोष्ठक (पैरेन्थेसिस) का उपयोग करता है, $\le$ वर्ग कोष्ठक का उपयोग करता है।
• $|A| < B$ के दोनों पक्षों का वर्ग करना आँख मूँदकर: केवल तभी मान्य जब दोनों पक्ष अऋणात्मक हों।

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असमिका सॉल्वर में कोई भी असमिका टाइप करें और आपको पूरी चरण सूची दिखेगी — होमवर्क की दोबारा जाँच के लिए एकदम सही।

संबंधित संदर्भ:

• समीकरण सॉल्वर — वही बीजगणित, समता संस्करण
• निरपेक्ष मान सॉल्वर — $|A| = k$ प्रकार की समस्याओं के लिए
• द्विघात सॉल्वर — ऊपर के द्विघात मामले के साथ युग्मित