असमिका हल करने वाला

एक असमिका एक गणितीय कथन है जो निम्न में से किसी एक प्रतीक का प्रयोग करके दो व्यंजकों की तुलना करता है:

• $<$ (से कम)
• $>$ (से अधिक)
• $\leq$ (से कम या बराबर)
• $\geq$ (से अधिक या बराबर)

समीकरणों (जो पूछते हैं "कौन से मान दो पक्षों को बराबर बनाते हैं?") के विपरीत, असमिकाएँ पूछती हैं "कौन से मान एक पक्ष को दूसरे से बड़ा (या छोटा) बनाते हैं?"

उदाहरण के लिए, असमिका:

$2x - 5 > 3$

पूछती है: $x$ के किन मानों के लिए $2x - 5$, $3$ से अधिक है?

एक असमिका का हल आमतौर पर मानों का एक परिसर (एक अंतराल) होता है, एक अकेली संख्या नहीं। हल अक्सर अंतराल संकेतन में व्यक्त किए जाते हैं:

• $(a, b)$: $a$ और $b$ के बीच कड़ाई से सभी मान
• $[a, b]$: $a$ से $b$ तक सभी मान, सम्मिलित
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: $a$ से कम या $b$ से अधिक सभी मान

असमिकाएँ अनुकूलन, बाधा समस्याओं, और फलनों के प्रांत तथा परिसर निर्धारित करने में मौलिक हैं।

1. रैखिक असमिकाएँ

एक रैखिक समीकरण की तरह हल करें, एक महत्वपूर्ण नियम के साथ: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय असमिका चिह्न को पलटना।

उदाहरण: $2x - 5 > 3$ हल करें

1. 5 जोड़ें: $2x > 8$
2. 2 से भाग दें: $x > 4$

हल: $(4, \infty)$

चिह्न पलटने वाला उदाहरण: $-3x + 6 \leq 12$ हल करें

1. 6 घटाएँ: $-3x \leq 6$
2. $-3$ से भाग दें (पलटें!): $x \geq -2$

2. द्विघात असमिकाएँ

पहले संगत समीकरण हल करें, फिर अंतरालों का परीक्षण करें।

उदाहरण: $x^2 - 4x - 5 > 0$ हल करें

1. गुणनखंडन करें: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. क्रांतिक बिंदु: $x = -1$ और $x = 5$
3. अंतरालों का परीक्षण करें:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

हल: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. परिमेय असमिकाएँ

ज्ञात करें कि अंश और हर कहाँ शून्य हैं (क्रांतिक बिंदु), फिर प्रत्येक अंतराल में चिह्न का परीक्षण करें। दोनों ओर को कभी किसी ऐसे व्यंजक से गुणा न करें जो ऋणात्मक हो सकता है।

4. निरपेक्ष मान असमिकाएँ

• $|x| < a$ का अर्थ है $-a < x < a$
• $|x| > a$ का अर्थ है $x < -a$ या $x > a$

5. चिह्न चार्ट विधि

बहुपद/परिमेय असमिकाओं के लिए, एक चिह्न चार्ट बनाएँ जो प्रत्येक अंतराल में प्रत्येक गुणनखंड का चिह्न दर्शाता हो।

• असमिका चिह्न पलटना भूलना: जब आप दोनों ओर को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते हैं, तो आपको असमिका की दिशा उलटनी होगी।
• क्रांतिक बिंदुओं को गलत तरीके से सम्मिलित करना: कड़ी असमिकाओं ($<$, $>$) के लिए, क्रांतिक बिंदु सम्मिलित नहीं होते। $\leq$ या $\geq$ के लिए, वे होते हैं।
• चर के चिह्न पर विचार किए बिना उससे गुणा करना: यदि आप दोनों ओर को $x$ से गुणा करते हैं, तो आपको $x > 0$ और $x < 0$ वाली स्थितियों पर अलग-अलग विचार करना होगा।
• संयुक्त असमिकाओं को गलत तरीके से मानना: $a < f(x) < b$ के लिए, दोनों भागों को एक साथ हल करें, स्वतंत्र रूप से नहीं।
• गलत संकेतन में हल लिखना: कड़ी असमिकाओं के लिए कोष्ठक और सम्मिलित के लिए वर्ग कोष्ठक का प्रयोग करें।