द्विघात समीकरण कैलकुलेटर

एक द्विघात समीकरण निम्न रूप का द्वितीय-घात बहुपद समीकरण है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ $a$, $b$, और $c$ अचर हैं और $a \neq 0$।

द्विघात समीकरण का आलेख एक परवलय होता है — एक U-आकार का वक्र जो $a > 0$ होने पर ऊपर की ओर और $a < 0$ होने पर नीचे की ओर खुलता है। हल (जिन्हें मूल या शून्य भी कहते हैं) वे x-मान हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

चार मुख्य विधियाँ हैं:

1. द्विघात सूत्र

सबसे सार्वभौमिक विधि। $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac$ हलों की संख्या निर्धारित करता है:

• $\Delta > 0$: दो भिन्न वास्तविक मूल
• $\Delta = 0$: एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल
• $\Delta < 0$: दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल

2. गुणनखंडन

यदि द्विघात को $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो मूल $r_1$ और $r_2$ होते हैं।

उदाहरण: $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = 0$ → $x = -2$ या $x = -3$

3. वर्ग पूर्ण करना

$ax^2 + bx + c = 0$ को $(x + p)^2 = q$ रूप में पुनर्लिखित करें, फिर वर्गमूल लेकर हल करें।

4. आलेखन

$y = ax^2 + bx + c$ आरेखित करें और x-अंतःखंड ज्ञात करें।

• यह भूलना कि $a \neq 0$: यदि $a = 0$, तो यह एक रैखिक समीकरण बन जाता है।
• सूत्र में चिह्न की त्रुटियाँ: $-b$ के साथ सावधान रहें — यदि $b$ ऋणात्मक है, तो $-b$ धनात्मक होता है।
• $\pm$ भूलना: सूत्र दो हल देता है। एक को न छोड़ें।
• करणियों को सरल न करना: हमेशा $\sqrt{b^2 - 4ac}$ को यथासंभव सरल करें।
• भाग की त्रुटियाँ: पूरे अंश को $2a$ से भाग देना याद रखें।