निरपेक्ष मान कैलकुलेटर

किसी वास्तविक संख्या $x$ का निरपेक्ष मान, जिसे $|x|$ लिखा जाता है, संख्या रेखा पर $0$ से उसकी दूरी है:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

मुख्य गुणधर्म:

• सभी $x$ के लिए $|x| \geq 0$, और समानता तभी होती है जब $x = 0$।
• $|xy| = |x||y|$ (गुणनात्मक)।
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (त्रिभुज असमिका)।
• $|x|^2 = x^2$, अतः $|x| = \sqrt{x^2}$।

ज्यामितीय व्याख्या: $|a - b|$ संख्या रेखा पर संख्याओं $a$ और $b$ के बीच की दूरी है। इसीलिए निरपेक्ष मान असमिकाएँ सहजता से दूरी के कथनों में अनुवादित हो जाती हैं।

निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्याओं ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) और सदिशों (यूक्लिडीय मानक) तक विस्तृत होता है, परंतु यहाँ हम अधिकांश गृहकार्य में प्रयुक्त वास्तविक-मान वाले मामले पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

प्रकार 1: निरपेक्ष मान समीकरण

$|f(x)| = c$ जहाँ $c$ एक अचर है।

• यदि $c < 0$: कोई हल नहीं (निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
• यदि $c = 0$: $f(x) = 0$ हल करें।
• यदि $c > 0$: दो स्थितियों में बाँटें: $f(x) = c$ या $f(x) = -c$। प्रत्येक को हल करें, सभी वैध हल रखें।

उदाहरण: $|2x - 3| = 7$ को $2x - 3 = 7$ या $2x - 3 = -7$ में बाँटा जाता है, जिससे $x = 5$ या $x = -2$ मिलता है।

प्रकार 2: छोटे-से असमिका

$|f(x)| < c$ (या $\leq$) जहाँ $c > 0$।

समतुल्य है: $-c < f(x) < c$ (एक संयुक्त असमिका, AND)।

ज्यामितीय अर्थ: $f(x)$ की $0$ से दूरी $c$ के भीतर है।

उदाहरण: $|2x + 1| < 7$ बन जाता है $-7 < 2x + 1 < 7$, जिससे $-4 < x < 3$ मिलता है।

यदि $c \leq 0$, तो कोई हल नहीं है (या केवल $f(x) = 0$ यदि $c = 0$)।

प्रकार 3: बड़े-से असमिका

$|f(x)| > c$ (या $\geq$) जहाँ $c \geq 0$।

समतुल्य है: $f(x) < -c$ या $f(x) > c$ (एक वियोजन, OR)।

उदाहरण: $|3x - 6| \geq 9$ बन जाता है $3x - 6 \leq -9$ या $3x - 6 \geq 9$, जिससे $x \leq -1$ या $x \geq 5$ मिलता है।

यदि $c < 0$, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या असमिका को संतुष्ट करती है।

कठिन: दोनों ओर निरपेक्ष मान

$|f(x)| = |g(x)|$ को $f(x) = g(x)$ या $f(x) = -g(x)$ में बाँटा जाता है।

हलों का सत्यापन

हमेशा मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचें। कुछ संदर्भों में वर्ग करना या बाँटना बहिर्जात हल उत्पन्न कर सकता है।

• ऋणात्मक स्थिति को छोड़ देना: $|x| = 5$ के दो हल हैं, $x = 5$ और $x = -5$। शुरुआती अक्सर केवल धनात्मक वाला लिखते हैं।
• AND बनाम OR को उल्टा प्रयोग करना: $|x| < c$ में AND का प्रयोग होता है ($-c$ और $c$ के बीच); $|x| > c$ में OR का प्रयोग होता है ($-c$ से कम या $c$ से अधिक)। इन्हें बदल देने से गलत उत्तर मिलते हैं।
• यह भूलना कि $c$ अऋणात्मक होना चाहिए: $|f(x)| = -3$ का कोई हल नहीं क्योंकि $|f(x)| \geq 0$ हमेशा होता है।
• ऋणात्मक स्थिति में चिह्न भ्रम: $|2x - 3| = 7$ से $2x - 3 = -7$ मिलता है, $-(2x) - 3 = 7$ नहीं। $-c$ के बराबर पूरे व्यंजक को ऋणात्मक करें।
• बहिर्जात हलों का छूट जाना: हल करने के बाद, हमेशा मूल समीकरण में वापस रखें। यदि निरपेक्ष मान संरचना $f(x)$ के अऋणात्मक होने पर निर्भर थी, तो उसे जाँचें।