Calculatrice de moyenne, médiane et mode

La moyenne, la médiane et le mode sont les trois principales mesures de tendance centrale en statistiques. Chacune décrit le centre d'un jeu de données d'une manière différente.

Moyenne (moyenne arithmétique)

La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs :

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

La moyenne est sensible aux valeurs aberrantes — une seule valeur très grande ou très petite peut décaler la moyenne de façon significative.

Médiane

La médiane est la valeur centrale lorsque les données sont triées par ordre croissant. Pour $n$ points de données :

• Si $n$ est impair : médiane $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• Si $n$ est pair : médiane $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

La médiane est robuste aux valeurs aberrantes et est préférée pour les distributions asymétriques.

Mode

Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Un jeu de données peut être :

• Unimodal — un seul mode
• Bimodal — deux modes
• Multimodal — plus de deux modes
• Sans mode — toutes les valeurs apparaissent aussi souvent

Ces trois mesures réunies donnent une image complète de l'endroit où se situe le « centre » d'un jeu de données.

Calcul de la moyenne

1. Additionner toutes les valeurs : $\sum x_i$
2. Diviser par le nombre total $n$
3. Résultat : $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Moyenne pondérée : lorsque les valeurs ont des poids différents :

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

Calcul de la médiane

1. Trier les données par ordre croissant
2. Compter le nombre de valeurs $n$
3. Si $n$ est impair : la médiane est la valeur en position $\frac{n+1}{2}$
4. Si $n$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs en positions $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$

Calcul du mode

1. Compter la fréquence de chaque valeur
2. Identifier la ou les valeurs ayant la fréquence la plus élevée
3. Si toutes les valeurs apparaissent une fois, il n'y a aucun mode

Tableau comparatif

Quand utiliser chaque mesure

• Moyenne : pour des données distribuées normalement sans valeurs aberrantes extrêmes (par ex. notes d'examen dans une grande classe).
• Médiane : pour des données asymétriques ou en présence de valeurs aberrantes (par ex. revenu des ménages).
• Mode : pour des données catégorielles ou pour trouver la valeur la plus courante (par ex. pointure la plus populaire).

Relation entre moyenne, médiane et mode

Pour une distribution parfaitement symétrique : moyenne $=$ médiane $=$ mode.

Pour une distribution asymétrique à droite : moyenne $>$ médiane $>$ mode.

Pour une distribution asymétrique à gauche : moyenne $<$ médiane $<$ mode.

• Oublier de trier les données avant de trouver la médiane — la médiane requiert des données ordonnées ; utiliser des données non triées donne un résultat incorrect.
• Confondre moyenne et médiane pour des données asymétriques — la moyenne est attirée vers les valeurs aberrantes, donc pour les distributions asymétriques la médiane est une meilleure mesure du centre.
• Affirmer « aucun mode » en présence de fréquences à égalité — si plusieurs valeurs partagent la fréquence la plus élevée, ce sont toutes des modes (bimodal ou multimodal).
• Diviser par le mauvais nombre — assurez-vous de diviser par le nombre total de points de données, pas par le nombre de valeurs distinctes.
• Inclure des valeurs aberrantes sans réflexion — vérifiez toujours les valeurs extrêmes qui pourraient rendre la moyenne trompeuse.