Les bases des probabilités : règles, dénombrement et exemples

Les probabilités quantifient l'incertitude. La bonne nouvelle : la plupart des exercices se ramènent à un petit ensemble de règles et à la volonté de compter avec soin. Ce guide couvre les bases dont vous avez besoin avant de passer aux lois de probabilité, aux tests d'hypothèses ou à l'inférence bayésienne.

Ce que signifie « probabilité »

La probabilité d'un événement $A$ est

$P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$

en supposant que tous les résultats sont équiprobables. $P(A) \in [0, 1]$ :

• $0$ = impossible.
• $1$ = certain.
• $0.5$ = un tirage à pile ou face.

Pour des résultats non équiprobables, vous attribuez un poids à chaque résultat (c'est ce que fait une loi de probabilité).

Les trois règles fondamentales

Règle d'addition (probabilité de A ou B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Soustrayez l'intersection pour ne pas la compter deux fois. Si $A$ et $B$ sont incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble), l'intersection est nulle.

Exemple : en tirant une carte d'un jeu de 52 cartes, $P(\text{Roi ou Cœur}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (Une carte est à la fois Roi et Cœur, d'où la soustraction.)

Règle de multiplication (probabilité de A et B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Si $A$ et $B$ sont indépendants (l'un n'influe pas sur l'autre), $P(B | A) = P(B)$, ce qui se simplifie en $P(A) \cdot P(B)$.

Exemple : en lançant deux dés, $P(\text{deux 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (Les lancers sont indépendants.)

Probabilité conditionnelle

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

La probabilité de $B$ sachant que $A$ s'est produit. Fondement du théorème de Bayes et de l'essentiel de la statistique inférentielle.

Exemple : la carte tirée est une figure. Quelle est la probabilité que ce soit un Roi ?

• $P(\text{Roi et figure}) = 4/52$.
• $P(\text{figure}) = 12/52$.
• $P(\text{Roi | figure}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

Dénombrement : permutations et combinaisons

Pour $n$ éléments et un choix de $r$ :

• Permutations (l'ordre compte) : $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Combinaisons (l'ordre ne compte pas) : $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

La question à se poser est « échanger deux des éléments choisis donne-t-il un résultat différent ? » :

• Oui (p. ex. médaille d'or vs d'argent) → permutation.
• Non (p. ex. choisir un comité de 5 personnes) → combinaison.

Exemple résolu : la loterie

Choisir 6 numéros parmi 49. L'ordre sur votre ticket n'a pas d'importance — combinaison.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Donc $P(\text{gagner le jackpot à 6 numéros}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$.

Indépendant vs incompatible (à ne pas confondre !)

• Indépendant : connaître $A$ ne change pas $P(B)$. Les tirages à pile ou face sont indépendants.
• Incompatible : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble. Un dé ne peut pas faire à la fois 1 et 2.

Deux événements peuvent être l'un, l'autre, les deux ou ni l'un ni l'autre. Ce ne sont pas les mêmes notions, malgré une confusion fréquente.

Erreurs courantes

• Le sophisme du joueur : « J'ai obtenu 5 faces de suite, donc le prochain doit être pile. » Les tirages à pile ou face sont indépendants — le passé ne change pas la probabilité future.
• Additionner des probabilités non incompatibles sans soustraire l'intersection. $P(\text{Roi}) + P(\text{Cœur}) \neq P(\text{Roi ou Cœur})$.
• Confondre $P(A | B)$ et $P(B | A)$. Le classique sophisme du procureur : « Sachant l'accusé innocent, la probabilité de cette preuve est faible ; donc sachant la preuve, la probabilité d'innocence est faible. » Logiquement faux sans appliquer le théorème de Bayes.

Essayez par vous-même

Saisissez n'importe quel problème de probabilité dans la calculatrice de probabilités — addition, multiplication, conditionnelle, avec dénombrement. L'IA vous guide à chaque étape.

Liens connexes :

• Glossaire : théorème de Bayes
• Comparaison : permutation vs combinaison
• Aide-mémoire des formules de statistiques