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Calculatrice de probabilité

Calculez la probabilité des événements avec des explications étape par étape

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∑Math Input
Probability of rolling a 6 on a fair die
Probability of getting heads twice in 3 coin flips
A bag has 5 red and 3 blue balls. What is the probability of drawing a red ball?

Qu'est-ce que la probabilité ?

La probabilité mesure la vraisemblance qu'un événement se produise. Elle s'exprime par un nombre compris entre 00 et 11 (ou de façon équivalente, 0%0\% à 100%100\%).

P(A)=Number of favorable outcomesTotal number of possible outcomesP(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Concepts clés

  • Univers SS : l'ensemble de tous les résultats possibles
  • Événement AA : un sous-ensemble de l'univers
  • Complémentaire A′A' : l'événement où AA ne se produit PAS ; P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)

Types de probabilité

  • Probabilité théorique : basée sur le raisonnement à propos de résultats équiprobables (par ex. une pièce équilibrée a P(pile)=12P(\text{pile}) = \frac{1}{2})
  • Probabilité expérimentale : basée sur les fréquences observées lors d'expériences
  • Probabilité subjective : basée sur le jugement personnel ou l'expertise

Règles de probabilité

  • 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 pour tout événement AA
  • P(S)=1P(S) = 1 (quelque chose doit se produire)
  • P(∅)=0P(\emptyset) = 0 (événement impossible)

Comment calculer une probabilité

Probabilité de base

Pour des résultats équiprobables :

P(A)=∣A∣∣S∣=favorable outcomestotal outcomesP(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}

Règle d'addition (OU)

Pour la probabilité que l'événement AA ou l'événement BB se produise :

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si AA et BB sont incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble) :

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Règle de multiplication (ET)

Pour la probabilité que l'événement AA et l'événement BB se produisent tous deux :

P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Si AA et BB sont indépendants :

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Probabilité conditionnelle

La probabilité de AA sachant que BB s'est produit :

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilité binomiale

La probabilité d'exactement kk succès en nn essais indépendants, chacun de probabilité pp :

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

où (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Tableau récapitulatif

ScénarioFormule
Événement simpleP(A)=favorabletotalP(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}
ComplémentaireP(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)
A ou B (général)P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B)
A et B (indépendants)P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B)
Conditionnelle$P(A
Binomiale(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Erreurs courantes à éviter

  • Supposer que des événements sont indépendants alors qu'ils ne le sont pas — tirer des cartes sans remise change les probabilités après chaque tirage.
  • Oublier de soustraire le chevauchement dans la règle d'addition — quand des événements peuvent se produire ensemble, vous devez soustraire P(A∩B)P(A \cap B) pour éviter le double comptage.
  • Confondre « et » et « ou » — « et » signifie que les deux événements se produisent (multiplier les probabilités pour des événements indépendants) ; « ou » signifie qu'au moins un se produit (additionner les probabilités).
  • Ne pas considérer tous les résultats possibles de l'univers — assurez-vous de compter le total correctement, surtout avec les combinaisons et permutations.
  • Confondre le sens de la probabilité conditionnelle — P(A∣B)P(A|B) n'est pas la même chose que P(B∣A)P(B|A).

Examples

Step 1: Résultats favorables : il y a 44 rois dans un jeu
Step 2: Résultats totaux : il y a 5252 cartes au total
Step 3: P(king)=452=113P(\text{king}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
Answer: P(king)=113≈0.0769P(\text{king}) = \frac{1}{13} \approx 0.0769

Step 1: C'est une probabilité binomiale avec n=3n=3, k=2k=2, p=0.5p=0.5
Step 2: P(X=2)=(32)(0.5)2(0.5)1=3⋅0.25⋅0.5P(X=2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5
Step 3: P(X=2)=3⋅0.125=0.375P(X=2) = 3 \cdot 0.125 = 0.375
Answer: P(X=2)=38=0.375P(X=2) = \frac{3}{8} = 0.375

Step 1: Probabilité que la première boule soit rouge : P(R1)=58P(R_1) = \frac{5}{8}
Step 2: Après avoir tiré une rouge, probabilité que la deuxième soit rouge : P(R2∣R1)=47P(R_2|R_1) = \frac{4}{7}
Step 3: P(both red)=P(R1)⋅P(R2∣R1)=58⋅47=2056=514P(\text{both red}) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}
Answer: P(both red)=514≈0.357P(\text{both red}) = \frac{5}{14} \approx 0.357

Frequently Asked Questions

La probabilité d'un événement impossible est 0. Un événement impossible n'a aucun résultat favorable dans l'univers, donc le rapport des résultats favorables aux résultats totaux est nul.

Les événements indépendants n'affectent pas mutuellement leurs probabilités (comme lancer deux pièces). Les événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps (comme obtenir un 3 et un 5 sur un seul dé). Des événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

Avec remise, les probabilités restent les mêmes à chaque tirage car l'élément est remis. Sans remise, les probabilités changent après chaque tirage car le nombre total d'éléments diminue et la composition change.

La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que l'événement A se produise sachant que l'événement B s'est déjà produit. Elle restreint l'univers aux seuls résultats où B est vrai, puis vérifie combien d'entre eux satisfont aussi A.

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