Résoudre un système d'équations signifie trouver des valeurs qui satisfont toutes les équations simultanément. Chacune des trois techniques standard a son point fort — savoir laquelle choisir fait gagner du temps sur chaque série d'exercices.

Méthode 1 : substitution

Idéale lorsqu'une variable est déjà isolée (ou facile à isoler).

Procédure :

Résolvez une équation par rapport à une variable.
Substituez cette expression dans l'autre équation.
Résolvez l'équation à une variable obtenue.
Substituez en retour pour trouver la seconde variable.

Exemple : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ est déjà isolée. Substituez dans la seconde : $3x + (2x + 1) = 11$ , donc $5x = 10$ , $x = 2$ .
Substituez en retour : $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Solution : $(2, 5)$ .

Méthode 2 : élimination (combinaison linéaire)

Idéale lorsque les coefficients s'alignent pour annuler une variable par addition / soustraction.

Procédure :

Multipliez une équation ou les deux par des constantes afin que les coefficients d'une variable soient opposés (par ex. $+3y$ et $-3y$ ).
Additionnez les équations pour éliminer cette variable.
Résolvez l'équation à une variable restante.
Substituez en retour.

Exemple : $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ et $-3y$ déjà opposés. Additionnez : $6x = 18$ , $x = 3$ .
Substituez en retour : $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Solution : $(3, 2)$ .

Méthode 3 : méthodes matricielles

Pour les systèmes plus grands (3 variables ou plus) ou la résolution assistée par ordinateur :

Règle de Cramer : $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ où $A_i$ est $A$ avec la $i$ -ème colonne remplacée par les constantes. Fonctionne pour toute taille, mais le calcul du $\det$ croît rapidement.
Élimination de Gauss : réduisez par lignes la matrice augmentée $[A | \vec{b}]$ à une forme échelonnée, puis substituez en retour. La méthode standard pour les grands systèmes.
Matrice inverse : $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Fonctionne uniquement si $A$ est carrée et inversible (déterminant non nul).

Pour les systèmes 2×2 à la main, la substitution ou l'élimination l'emporte presque toujours. Les méthodes matricielles brillent pour 3 variables ou plus.

Trois possibilités pour l'ensemble solution

Tout système linéaire a exactement l'une des situations suivantes :

Une solution unique : les droites (ou plans) se coupent en un point.
Aucune solution : les équations se contredisent (droites parallèles qui ne se rencontrent pas) — le système est incompatible.
Une infinité de solutions : les équations décrivent la même droite / le même plan — le système est dépendant.

Signal algébrique :

« $x = 5$ » → unique.
« $0 = 7$ » → contradiction → aucune solution.
« $0 = 0$ » → tautologie → une infinité de solutions.

Erreurs courantes

Erreurs de signe lors du développement pendant la substitution. Mettez soigneusement entre parenthèses.
Oublier de multiplier les deux membres lors de la mise à l'échelle pour l'élimination.
S'arrêter après avoir trouvé $x$ . Les deux variables comptent ; substituez en retour.
Ignorer l'incompatibilité. Si vous obtenez $0 = 7$ , c'est la réponse (« aucune solution »), pas une erreur de calcul.

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Liens connexes :

Trois façons de résoudre des systèmes d'équations

Maîtrisez les systèmes d'équations avec les méthodes de substitution, d'élimination et matricielle. Exemples résolus pour les systèmes 2×2 et 3×3, ainsi que les cas où chaque méthode excelle.