Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à $0$ sur la droite numérique — toujours positive ou nulle. Définition formelle :

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Règles courantes :

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (avec $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — l'inégalité triangulaire.

Résoudre $|x - 3| = 5$ exige de considérer les deux cas : $x - 3 = 5$ ou $x - 3 = -5$, ce qui donne $x = 8$ ou $x = -2$.

Généralisations : dans le plan complexe, $|z|$ est la distance à $0$ en 2D. Dans les espaces vectoriels, $|\vec{v}|$ devient la norme. La valeur absolue se généralise à toute structure où la « taille » ou la « distance » a un sens.