Guide express des inéquations : linéaires, composées et avec valeur absolue

Les inéquations apparaissent en optimisation, dans les tolérances d'ingénierie et dans presque tous les problèmes de contraintes du monde réel (« le budget ne doit pas dépasser… »). La mécanique est semblable à celle de la résolution d'équations, avec une subtilité essentielle : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Ce guide rassemble sur une seule page tous les gestes dont vous avez besoin.

Inéquations linéaires

Traitez-les exactement comme des équations linéaires — sauf qu'il faut inverser le signe dès que vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif.

Résolvez $-3x + 5 < 14$ :

1. Soustrayez 5 : $-3x < 9$.
2. Divisez par $-3$ et inversez : $x > -3$.

L'ensemble solution est l'intervalle ouvert $(-3, \infty)$.

Inéquations composées

Une inéquation composée combine deux inéquations plus simples avec et (intersection) ou ou (union).

Résolvez $-1 \le 2x - 3 < 5$ (un encadrement « et ») :

1. Ajoutez 3 aux trois membres : $2 \le 2x < 8$.
2. Divisez par 2 : $1 \le x < 4$.

Solution : $[1, 4)$.

Pour les inéquations « ou » comme $x < -2$ ou $x \ge 5$, la solution est formée de deux morceaux disjoints : $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Inéquations avec valeur absolue

L'astuce : $|A| < k$ se réécrit $-k < A < k$, tandis que $|A| > k$ se réécrit $A < -k$ ou $A > k$.

Résolvez $|2x - 1| \le 5$ :

1. Réécrivez : $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Ajoutez 1 : $-4 \le 2x \le 6$.
3. Divisez par 2 : $-2 \le x \le 3$. Solution $[-2, 3]$.

Inéquations quadratiques

Ramenez tout d'un même côté, factorisez, puis testez le signe sur chaque intervalle.

Résolvez $x^2 - x - 6 > 0$ :

1. Factorisez : $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Les racines découpent la droite en trois intervalles : $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Testez un point de chacun : en $x = -3$ le produit est positif ; en $x = 0$ il est négatif ; en $x = 4$ il est positif.
4. Solution : $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Erreurs fréquentes

• Oublier d'inverser lors d'une division par un nombre négatif — l'erreur la plus courante.
• Confondre crochets ouverts et fermés : $<$ utilise des parenthèses, $\le$ utilise des crochets.
• Élever au carré les deux membres de $|A| < B$ à l'aveugle : ce n'est valable que lorsque les deux membres sont positifs ou nuls.

Vérifiez avec le solveur d'inéquations par IA

Tapez n'importe quelle inéquation dans le solveur d'inéquations et vous verrez la liste complète des étapes — parfait pour revérifier vos devoirs.

Références associées :

• Solveur d'équations — même algèbre, version égalité
• Solveur de valeur absolue — pour les problèmes du type $|A| = k$
• Solveur quadratique — associé au cas quadratique ci-dessus