Calculatrice de valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à $0$ sur la droite numérique :

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

Propriétés clés :

• $|x| \geq 0$ pour tout $x$, avec égalité si et seulement si $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (multiplicativité).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (inégalité triangulaire).
• $|x|^2 = x^2$, donc $|x| = \sqrt{x^2}$.

Interprétation géométrique : $|a - b|$ est la distance entre les nombres $a$ et $b$ sur la droite numérique. C'est pourquoi les inéquations avec valeur absolue se traduisent proprement en énoncés de distance.

La valeur absolue s'étend aux nombres complexes ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) et aux vecteurs (norme euclidienne), mais nous nous concentrons ici sur le cas réel utilisé dans la plupart des devoirs.

Type 1 : Équation avec valeur absolue

$|f(x)| = c$ où $c$ est une constante.

• Si $c < 0$ : aucune solution (une valeur absolue ne peut jamais être négative).
• Si $c = 0$ : résoudre $f(x) = 0$.
• Si $c > 0$ : séparer en deux cas : $f(x) = c$ ou $f(x) = -c$. Résoudre chacun, conserver toutes les solutions valides.

Exemple : $|2x - 3| = 7$ se sépare en $2x - 3 = 7$ ou $2x - 3 = -7$, donnant $x = 5$ ou $x = -2$.

Type 2 : Inéquation « inférieur à »

$|f(x)| < c$ (ou $\leq$) où $c > 0$.

Équivalent à : $-c < f(x) < c$ (une inéquation composée, ET).

Signification géométrique : $f(x)$ est à une distance inférieure à $c$ de $0$.

Exemple : $|2x + 1| < 7$ devient $-7 < 2x + 1 < 7$, donnant $-4 < x < 3$.

Si $c \leq 0$, il n'y a pas de solution (ou seulement $f(x) = 0$ si $c = 0$).

Type 3 : Inéquation « supérieur à »

$|f(x)| > c$ (ou $\geq$) où $c \geq 0$.

Équivalent à : $f(x) < -c$ ou $f(x) > c$ (une disjonction, OU).

Exemple : $|3x - 6| \geq 9$ devient $3x - 6 \leq -9$ ou $3x - 6 \geq 9$, donnant $x \leq -1$ ou $x \geq 5$.

Si $c < 0$, tout nombre réel satisfait l'inéquation.

Cas délicat : valeur absolue des deux côtés

$|f(x)| = |g(x)|$ se sépare en $f(x) = g(x)$ ou $f(x) = -g(x)$.

Vérification des solutions

Reportez toujours les valeurs dans l'équation d'origine. Élever au carré ou séparer en cas peut introduire des solutions étrangères dans certains contextes.

• Oublier le cas négatif : $|x| = 5$ a deux solutions, $x = 5$ et $x = -5$. Les débutants n'écrivent souvent que la solution positive.
• Confondre ET et OU : $|x| < c$ utilise ET (entre $-c$ et $c$) ; $|x| > c$ utilise OU (inférieur à $-c$ ou supérieur à $c$). Les intervertir donne des réponses fausses.
• Oublier que $c$ doit être positif ou nul : $|f(x)| = -3$ n'a pas de solution car $|f(x)| \geq 0$ toujours.
• Confusion de signe dans le cas négatif : $|2x - 3| = 7$ donne $2x - 3 = -7$, et non $-(2x) - 3 = 7$. Opposez l'expression entière égale à $-c$.
• Manquer les solutions étrangères : après avoir résolu, reportez toujours dans l'équation d'origine. Si la structure de la valeur absolue reposait sur le fait que $f(x)$ soit positif ou nul, vérifiez-le.