Calculadora de media, mediana y moda

La media, la mediana y la moda son las tres medidas principales de tendencia central en estadística. Cada una describe el centro de un conjunto de datos de una manera diferente.

Media (promedio aritmético)

La media es la suma de todos los valores dividida entre el número de valores:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

La media es sensible a los valores atípicos: un único valor muy grande o muy pequeño puede desplazar la media de forma significativa.

Mediana

La mediana es el valor central cuando los datos se ordenan de forma ascendente. Para $n$ datos:

• Si $n$ es impar: mediana $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• Si $n$ es par: mediana $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

La mediana es robusta frente a los valores atípicos y se prefiere para distribuciones asimétricas.

Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Un conjunto de datos puede ser:

• Unimodal — una moda
• Bimodal — dos modas
• Multimodal — más de dos modas
• Sin moda — todos los valores aparecen con la misma frecuencia

Estas tres medidas en conjunto dan una imagen completa de dónde se encuentra el "centro" de un conjunto de datos.

Calcular la media

1. Suma todos los valores de los datos: $\sum x_i$
2. Divide entre el total $n$
3. Resultado: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Media ponderada: cuando los valores tienen pesos diferentes:

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

Calcular la mediana

1. Ordena los datos de forma ascendente
2. Cuenta el número de valores $n$
3. Si $n$ es impar: la mediana es el valor en la posición $\frac{n+1}{2}$
4. Si $n$ es par: la mediana es el promedio de los valores en las posiciones $\frac{n}{2}$ y $\frac{n}{2}+1$

Calcular la moda

1. Cuenta la frecuencia de cada valor
2. Identifica el valor o los valores con la frecuencia más alta
3. Si todos los valores aparecen una vez, no hay moda

Tabla comparativa

Cuándo usar cada medida

• Media: úsala para datos con distribución normal sin valores atípicos extremos (p. ej., notas de un examen en una clase grande).
• Mediana: úsala para datos asimétricos o cuando hay valores atípicos presentes (p. ej., ingresos por hogar).
• Moda: úsala para datos categóricos o para hallar el valor más común (p. ej., la talla de zapato más popular).

Relación entre la media, la mediana y la moda

Para una distribución perfectamente simétrica: media $=$ mediana $=$ moda.

Para una distribución asimétrica a la derecha: media $>$ mediana $>$ moda.

Para una distribución asimétrica a la izquierda: media $<$ mediana $<$ moda.

• Olvidar ordenar los datos antes de hallar la mediana: la mediana requiere datos ordenados; usar datos sin ordenar da un resultado incorrecto.
• Confundir la media y la mediana en datos asimétricos: la media es arrastrada hacia los valores atípicos, así que para distribuciones asimétricas la mediana es una mejor medida del centro.
• Afirmar que "no hay moda" cuando hay frecuencias empatadas: si varios valores comparten la frecuencia más alta, todos son modas (bimodal o multimodal).
• Dividir entre el número equivocado: asegúrate de dividir entre el número total de datos, no entre el número de valores distintos.
• Incluir valores atípicos sin tenerlos en cuenta: comprueba siempre si hay valores extremos que puedan hacer que la media sea engañosa.