La probabilidad cuantifica la incertidumbre. La buena noticia: la mayoría de los problemas de tarea se reducen a un pequeño conjunto de reglas y a la disposición de contar con cuidado. Esta guía cubre la base que necesitas antes de pasar a distribuciones, contraste de hipótesis o inferencia bayesiana.

Qué significa "probabilidad"

La probabilidad de un evento $A$ es

$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$

suponiendo que todos los resultados son igualmente probables. $P(A) \in [0, 1]$ :

$0$ = imposible.
$1$ = seguro.
$0.5$ = el lanzamiento de una moneda.

Para resultados que no son igualmente probables, asignas pesos a cada resultado (eso es lo que hace una distribución de probabilidad).

Las tres reglas fundamentales

Regla de la suma (probabilidad de A o B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Resta la intersección para no contarla dos veces. Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez), la intersección es cero.

Ejemplo: al extraer una carta de una baraja de 52 cartas, $P(\text{Rey o Corazón}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$ . (Una carta es a la vez Rey y Corazón, de ahí la resta.)

Regla del producto (probabilidad de A y B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Si $A$ y $B$ son independientes (uno no afecta al otro), $P(B | A) = P(B)$ , simplificándose a $P(A) \cdot P(B)$ .

Ejemplo: al lanzar dos dados, $P(\text{ambos 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ . (Los lanzamientos son independientes.)

Probabilidad condicional

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

La probabilidad de $B$ dado que $A$ ha ocurrido. Fundamento del teorema de Bayes y de gran parte de la estadística inferencial.

Ejemplo: una carta extraída es una figura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Rey?

$P(\text{Rey y figura}) = 4/52$ .
$P(\text{figura}) = 12/52$ .
$P(\text{Rey | figura}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$ .

Conteo: permutaciones y combinaciones

Para elegir $r$ de $n$ elementos:

Permutaciones (el orden importa): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ .
Combinaciones (el orden no importa): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

La decisión es "¿intercambiar dos de los elementos elegidos da un resultado distinto?":

Sí (p. ej., medalla de oro vs plata) → permutación.
No (p. ej., elegir un comité de 5 personas) → combinación.

Ejemplo resuelto: lotería

Elige 6 números de 49. El orden en tu boleto no importa —combinación.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Así que $P(\text{ganar el premio mayor de 6 números}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$ .

Independiente vs mutuamente excluyente (¡no los confundas!)

Independiente: conocer $A$ no cambia $P(B)$ . Los lanzamientos de moneda son independientes.
Mutuamente excluyente: $A$ y $B$ no pueden ocurrir a la vez. Un dado no puede salir 1 y 2 a la vez.

Dos eventos pueden ser uno, el otro, ambos o ninguno. No son el mismo concepto, aunque suelen confundirse.

Errores comunes

La falacia del jugador: "He sacado 5 caras seguidas, así que la siguiente debe ser cruz". Los lanzamientos de moneda son independientes —el pasado no cambia la probabilidad futura.
Sumar probabilidades no mutuamente excluyentes sin restar la intersección. $P(\text{Rey}) + P(\text{Corazón}) \neq P(\text{Rey o Corazón})$ .
Confundir $P(A | B)$ con $P(B | A)$ . La clásica falacia del fiscal: "Dado que el acusado es inocente, la probabilidad de esta evidencia es pequeña; por lo tanto, dada la evidencia, la probabilidad de inocencia es pequeña". Lógicamente erróneo sin aplicar el teorema de Bayes.

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