Calculadora de intervalo de confianza

Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional desconocido, construido a partir de datos muestrales. Un intervalo de confianza del 95% significa: si repitieras el procedimiento de muestreo muchas veces, alrededor del 95% de los intervalos construidos contendrían el parámetro verdadero.

Importante: el 95% se refiere al procedimiento, no a ningún intervalo concreto calculado. Una vez que se construye un intervalo a partir de los datos, este contiene o no contiene el parámetro verdadero, pero no sabemos cuál.

Estructura básica: todo intervalo de confianza tiene la forma

$\text{estimación} \pm \text{margen de error}$

La estimación es el estadístico muestral ($\bar{x}$ o $\hat{p}$). El margen de error es un valor crítico por el error estándar de la estimación.

Los intervalos de confianza aparecen en:

• Encuestas electorales ('52% de apoyo, $\pm 3\%$ de margen de error')
• Estudios médicos (IC del tamaño del efecto)
• Control de calidad (tasas medias de defectos)
• Cualquier momento en que quieras cuantificar la incertidumbre de una estimación, no solo informar de un valor puntual.

IC para una media poblacional (intervalo Z)

Cuando la desviación estándar poblacional $\sigma$ es conocida y la distribución muestral es aproximadamente normal ($n$ grande o población normal):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

donde $z^*$ es el valor crítico para el nivel de confianza elegido.

IC para una media poblacional (intervalo T)

Cuando $\sigma$ es desconocida (solo tienes $s$, la desviación estándar muestral); mucho más común en la práctica:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

El valor crítico $t^*$ proviene de la distribución t con $n - 1$ grados de libertad. Para $n$ grande ($\geq 30$), $t^* \approx z^*$ y los dos intervalos son muy similares.

IC para una proporción poblacional

Para una proporción muestral $\hat{p} = x/n$ (donde $x$ es el número de éxitos):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Válido cuando $n\hat{p} \geq 10$ y $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (condición de éxito-fracaso).

Valores críticos

Margen de error

$\text{ME} = (\text{valor crítico}) \times (\text{error estándar})$

Aumentar el tamaño muestral $n$ reduce el error estándar (y por tanto el margen de error) en un factor de $\sqrt{n}$. Cuadruplicar $n$ reduce el margen de error a la mitad.

Cómo elegir el nivel de confianza

• Mayor confianza = intervalo más ancho. Un IC del 99% es más ancho que uno del 95%, que es más ancho que uno del 90%.
• El 95% es el valor predeterminado en la mayoría de los contextos académicos y profesionales.
• 99% cuando lo que está en juego es más importante (médico, seguridad); 90% cuando importa más una estimación puntual más ajustada que la cobertura.

• Malinterpretar el 95%: 'Hay una probabilidad del 95% de que la media verdadera esté en este intervalo' es incorrecto (frecuentista). El enunciado correcto trata sobre el procedimiento: el 95% de los intervalos construidos de forma similar contienen el parámetro verdadero.
• Usar z cuando corresponde t: con $\sigma$ desconocida, usa $t^*$. Usar $z^*$ subestima la incertidumbre, sobre todo para $n$ pequeño.
• Olvidar $\sqrt{n}$ en el error estándar: $\sigma/\sqrt{n}$, no $\sigma/n$.
• Dirección incorrecta del valor crítico: $z^* = 1.96$ para el 95% (bilateral), no el $z$ del percentil 95 $= 1.645$. El valor crítico bilateral deja $\alpha/2$ en cada cola.
• Omitir la condición de éxito-fracaso para proporciones: si $n\hat{p}$ o $n(1-\hat{p}) < 10$, la aproximación normal falla; usa un intervalo exacto (Clopper-Pearson) o basado en la puntuación.
• Confundir el IC con el intervalo de predicción: un IC del 95% estima la media con una cobertura del 95%. Un intervalo de predicción estima una sola observación futura, mucho más ancho.