¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 400 y por qué? Explica cómo hallarla sin calculadora.

Step-by-step solution

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   Parte de la definición. La raíz cuadrada de un número $N$ es el valor que, multiplicado por sí mismo, da $N$. Así que hallar $\sqrt{400}$ significa resolver

   $k\times k=400.$

   Ese es todo el contenido de la pregunta: lo que viene a continuación es solo una forma eficiente de encontrar $k$.

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   Factoriza 400 en primos y empareja los factores. Dividiendo repetidamente se obtiene

   $400=4\times 100=2^{2}\times(2^{2}\times 5^{2})=2^{4}\times 5^{2}.$

   Todos los exponentes son pares, que es exactamente la condición para que $400$ sea un cuadrado perfecto. Al reducir a la mitad cada exponente:

   $\sqrt{400}=2^{4/2}\times 5^{2/2}=2^{2}\times 5=20.$

   Este método funciona para cualquier cuadrado perfecto y no necesita ningún tanteo.

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   Comprueba multiplicando de vuelta. Elevando al cuadrado la candidata:

   $20\times 20=400 ✓.$

   Otra comprobación útil es la regla de los ceros finales: $400$ tiene dos ceros al final, así que su raíz cuadrada tiene uno, y $\sqrt{4}=2$ da la cifra inicial — de ahí $20$.

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   Fíjate en el convenio de signos. Tanto $20$ como $-20$ elevados al cuadrado dan $400$, pero el símbolo radical $\sqrt{\ }$ denota la raíz principal (no negativa), así que $\sqrt{400}=20$. La respuesta con doble signo $x=\pm20$ le corresponde a la ecuación $x^{2}=400$, no a la expresión $\sqrt{400}$ — una distinción que conviene tener clara.

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   Contrasta acotando. Como $19^{2}=361$ y $21^{2}=441$, la raíz tiene que estar estrictamente entre $19$ y $21$, y el único entero que hay ahí es $20$ ✓. Acotar así es como se estiman las raíces de números que no son cuadrados perfectos, como $\sqrt{410}\approx 20.25$.