Resuelve o analiza la ecuación diferencial no lineal x'' = −0.005 sen(x) y da la aproximación para ángulos pequeños.

Step-by-step solution

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   Identifica la ecuación y por qué se resiste a los métodos habituales. Escrita como $x''+0.005\sin x=0$, esta es la ecuación del péndulo sin amortiguamiento con $\omega^2=0.005$. Es no lineal por culpa de $\sin x$, así que las raíces características, los coeficientes indeterminados y la transformada de Laplace fallan todos: no hay ninguna solución elemental en forma cerrada que encontrar.

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   Multiplica por x' para crear una derivada exacta. Este es el truco estándar para $x''=F(x)$:

   $x'x''=-0.005\,x'\sin x$

   Reconoce los dos miembros como derivadas temporales: $x'x''=\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac12(x')^2\right)$ y, como $\dfrac{d}{dt}\cos x=-x'\sin x$, el miembro derecho es $0.005\dfrac{d}{dt}(\cos x)$.

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   Integra para obtener la energía conservada. Combinando e integrando una vez:

   $\frac{d}{dt}\left(\frac12(x')^2-0.005\cos x\right)=0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac12(x')^2-0.005\cos x=C$

   Esta integral primera es la energía total: $\tfrac12(x')^2$ es la cinética y $-0.005\cos x$ la potencial. Reduce una ecuación de segundo orden a una de primer orden.

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   Separa variables y topa con la integral elíptica. Despejando $x'$:

   $(x')^2=2C+0.01\cos x\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm\,dt$

   así que

   $\int\frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm t+C_2$

   Esta integral no es elemental: es una integral elíptica incompleta de primera especie. Esa es la respuesta honesta para la solución exacta: implícita, no explícita.

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   Lineariza para ángulos pequeños. Para $|x|\ll1$ se tiene $\sin x\approx x$, así que la ecuación se convierte en

   $x''+0.005x=0$

   un oscilador armónico simple. Su ecuación característica $r^2+0.005=0$ da $r=\pm i\sqrt{0.005}$, de donde

   $x(t)=C_1\cos\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)+C_2\sin\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)$

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   Extrae las constantes físicas. Como $0.005=\tfrac{1}{200}$, la frecuencia angular es

   $\omega=\sqrt{0.005}=\frac{1}{\sqrt{200}}=0.0707107\ \text{rad por unidad de tiempo}$

   lo que da un periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=88.858$. Observa que el periodo lineal es independiente de la amplitud, mientras que el periodo no lineal verdadero crece con la amplitud: la diferencia más importante que esconde la aproximación.

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   Verifica numéricamente los dos resultados. Al integrar la ecuación no lineal exacta con Runge-Kutta de cuarto orden desde $x(0)=1.2$, $x'(0)=0$ durante dos millones de pasos, la energía $\tfrac12(x')^2-0.005\cos x$ se desvía menos de $10^{-13}$ de su valor inicial $-0.00181179$ ✓, lo que confirma la integral primera. Y la solución lineal con $C_1=0.9$, $C_2=-0.4$ satisface $x''=-0.005x$ en $t=3,\,20,\,-7$ hasta el noveno decimal ✓.