Calculadora de la fórmula de la distancia

La fórmula de la distancia calcula la distancia en línea recta entre dos puntos en el espacio de coordenadas. Es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo formado por la separación horizontal y vertical entre los puntos.

Forma 2D — para los puntos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Forma 3D — para los puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Forma $n$-dimensional (distancia euclidiana):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Esto se generaliza de forma natural a cualquier número de dimensiones, por lo que es la noción de 'distancia' fundamental en física, estadística y aprendizaje automático.

Paso a paso

1. Etiqueta los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$. Cualquier asignación funciona: la fórmula es simétrica.
2. Calcula las diferencias: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Elévalas al cuadrado: $(\Delta x)^2$ y $(\Delta y)^2$.
4. Suma: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Toma la raíz cuadrada: $d = \sqrt{\text{suma}}$.
6. Simplifica el radical si es posible (p. ej., $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Deducción geométrica

Traza un segmento horizontal de $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_1)$: longitud $|x_2 - x_1|$.
Traza un segmento vertical de $(x_2, y_1)$ a $(x_2, y_2)$: longitud $|y_2 - y_1|$.
El segmento original es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con estos dos catetos, así que por el teorema de Pitágoras:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Tomando raíces cuadradas se obtiene la fórmula de la distancia. Los valores absolutos no son necesarios porque al elevar al cuadrado se elimina el signo.

Fórmulas relacionadas

• Punto medio: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — el promedio de las coordenadas.
• Pendiente: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — usa las mismas diferencias que la fórmula de la distancia.
• Distancia de un punto al origen: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (caso especial con $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Distancia de Manhattan / del taxista (para comparar)

Observa que la fórmula anterior es la distancia euclidiana. La distancia de Manhattan $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ mide el recorrido en una cuadrícula (sin diagonales). Son métricas diferentes: asegúrate de saber cuál pide tu problema.

• Olvidar elevar al cuadrado: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Los cuadrados (y la raíz cuadrada) son esenciales.
• Errores de signo: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, así que el orden de la resta no importa, pero solo gracias al cuadrado. No elimines el cuadrado porque 've' la diferencia.
• Olvidar tomar la raíz cuadrada: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ es $d^2$, no $d$. Muchos estudiantes se detienen un paso antes.
• No simplificar el radical: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Dejarlo como $\sqrt{8}$ es técnicamente correcto, pero suele penalizarse en los exámenes.
• Mezclar 2D y 3D: Si tu problema es en 3D, incluye el término $(z_2 - z_1)^2$. Si es 2D, no inventes un término $z$.