Se invierten 4,400 dólares en una cuenta con interés compuesto anual. Al cabo de 5 años la cuenta tiene 5,790 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual?

Step-by-step solution

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   Parte de la fórmula del interés compuesto. Para un interés capitalizado una vez al año,

   $A=P(1+r)^t$

   donde $P=4400$ es el capital, $A=5790$ es el saldo al cabo de $t=5$ años y $r$ es la tasa anual en forma decimal. Se conoce todo salvo $r$, así que el problema es de álgebra: despejar $r$.

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   Aísla el factor de crecimiento. Sustituir los valores y dividir ambos miembros entre el capital elimina $P$:

   $5790=4400(1+r)^5\ \Longrightarrow\ (1+r)^5=\frac{5790}{4400}=1.3159090909\ldots$

   Este número es el crecimiento total a lo largo de cinco años: el dinero creció alrededor del $31.6\%$ en total, no cada año.

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   Deshaz el exponente con una raíz quinta. Elevar ambos miembros a la potencia $\tfrac15$ convierte el crecimiento total en crecimiento anual:

   $1+r=\left(1.3159090909\right)^{1/5}=1.05644083.$

   Un error frecuente aquí es dividir en su lugar el crecimiento total entre $5$; eso daría alrededor del $6.3\%$ y es incorrecto, porque la capitalización es multiplicativa, no aditiva.

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   Resta 1 y pasa a porcentaje.

   $r=1.05644083-1=0.05644083=5.644083\%.$

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   Redondea y verifica. Con un decimal la tasa es del $\mathbf{5.6\%}$. Contrastando los dos redondeos candidatos con el saldo objetivo: 4400(1.056)^5=\5{,}777.93$y$4400(1.057)^5=$5{,}805.34$, mientras que la tasa sin redondear reproduce exactamente$$5{,}790.00$. Como$5.644%$queda por debajo del punto medio$5.65%$, se redondea **hacia abajo** a$5.6%$, y$5.6%$ es en efecto el más cercano de los dos.