Calculadora de transformada de Laplace

La transformada de Laplace convierte una función del tiempo $f(t)$ en una función de frecuencia compleja $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

La transformada está definida para $s$ en algún semiplano derecho $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ donde la integral converge.

Por qué es útil: Laplace convierte la derivación en multiplicación por $s$, transformando las EDO lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas en $s$. Resuelves el álgebra y luego tomas la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo.

Las transformadas de Laplace también manejan con elegancia las entradas discontinuas e impulsivas (funciones escalón, deltas de Dirac), lo que las hace indispensables en teoría de control, procesamiento de señales e ingeniería eléctrica.

Pares de transformadas básicos

Memoriza la tabla esencial:

Propiedades clave

Linealidad:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Primer desplazamiento (desplazamiento en s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

Así es como $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Derivación en el dominio de $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

Esto es lo que convierte las EDO en álgebra: las derivadas se vuelven polinomios en $s$ multiplicados por $F(s)$, con las condiciones iniciales incorporadas.

Multiplicación por $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Transformada inversa de Laplace

Dada $F(s)$, halla $f(t)$ tal que $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Técnicas estándar:

1. Fracciones parciales: descompón $F(s)$ en piezas racionales simples que coincidan con la tabla.
2. Completar el cuadrado: para formas $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, reescribe como $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ para que coincida con la entrada del seno desplazado de la tabla.
3. Busca y combina usando la linealidad.

Resolver EDO con Laplace

Para $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Aplica Laplace: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Despeja $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, así que $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (tras simplificar).
3. Invierte: $y(t) = t e^{-t}$.

Limpio y mecánico: el mismo problema con variación de parámetros lleva el doble de trabajo.

• Olvidar las condiciones iniciales: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Omitir $f(0)$ es el error más común.
• Signo incorrecto en el desplazamiento en s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, no $F(s + a)$. El signo importa.
• Manejar mal las discontinuidades: Para entradas escalón, usa la función escalón unitario $u(t-a)$ y el teorema de desplazamiento temporal $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Transformada inversa sin fracciones parciales: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ no se invierte directamente: descompón primero.
• Confundir $F(s)$ con $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ es la transformada, $f(t)$ es la original. Termina siempre los problemas de EDO de vuelta en el dominio del tiempo.