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Calculadora de integrales impropias

Evalúa integrales impropias con límites infinitos o integrandos no acotados con soluciones paso a paso de IA

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integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

¿Qué es una integral impropia?

Una integral impropia es una integral definida en la que ocurre que:

  1. El intervalo es infinito: p. ej., ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx o ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. El integrando tiene una asíntota vertical dentro del intervalo o en un extremo: p. ej., ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

En ambos casos, la integral de Riemann estándar no está definida, pero a veces podemos asignar un valor finito usando límites.

Si el límite existe y es finito, la integral impropia converge. Si el límite es infinito o no existe, la integral diverge.

Las integrales impropias son fundamentales en probabilidad (constantes de normalización), las transformadas de Laplace y Fourier, y los criterios de convergencia de series.

Cómo evaluar integrales impropias

Tipo 1: Intervalo infinito

Reemplaza el infinito por un límite:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Si ambos límites son infinitos, divide en cualquier punto conveniente cc:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Ambas partes deben converger de forma independiente; de lo contrario, toda la integral diverge.

Tipo 2: Integrando no acotado

Si ff no está acotada en x=cx = c dentro de [a,b][a, b], divide y toma límites:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Si la singularidad está en x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

El criterio pp

∫1∞1xp dxconverge si p>1, diverge si p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge si } p > 1, \text{ diverge si } p \leq 1

∫011xp dxconverge si p<1, diverge si p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge si } p < 1, \text{ diverge si } p \geq 1

El exponente crítico es p=1p = 1. Observa las reglas de convergencia opuestas para los dos casos.

Criterio de comparación

Si 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) en el intervalo:

  • ∫g\int g converge ⇒∫f\Rightarrow \int f converge
  • ∫f\int f diverge ⇒∫g\Rightarrow \int g diverge

Útil cuando la propia integral es difícil pero la cota es sencilla.

Errores comunes que debes evitar

  • Tratar ∞\infty como un número: No puedes 'sustituir' ∞\infty. Debes usar un límite.
  • Pasar por alto singularidades internas: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx tiene una singularidad en 00 dentro del intervalo. Evaluarla ingenuamente da 00 (incorrecto): la integral en realidad diverge.
  • Sumar integrales impropias por partes que se 'cancelan': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx: ambas mitades divergen, por lo que la integral diverge. El 'valor principal' es una noción distinta (más débil).
  • Dirección incorrecta del criterio pp: En ∞\infty, 1/xp1/x^p converge para p>1p > 1. En 00, converge para p<1p < 1. Son opuestos: memoriza ambos.
  • Olvidar verificar la convergencia antes de integrar: Una integral impropia divergente no tiene valor. Comprueba siempre la convergencia primero.

Examples

Step 1: Reemplaza el límite por un límite: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Calcula la antiderivada: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Aplica los límites: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Cuando t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, así que el límite es igual a 11
Answer: 11 (converge)

Step 1: Aplica el criterio pp con p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx converge si y solo si p>1p > 1
Step 2: Aquí p=1p = 1, por lo que la integral diverge
Step 3: Verifica con el límite: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Diverge

Step 1: Singularidad en x=0x = 0. Usa el criterio pp en 00: 1/xp1/x^p converge si y solo si p<1p < 1
Step 2: Aquí p=1/2<1p = 1/2 < 1, por lo que converge
Step 3: Calcula: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (converge)

Frequently Asked Questions

Una integral impropia converge si el límite que la define es finito. De lo contrario diverge, lo que significa que el área bajo la curva es infinita o indefinida.

El criterio p se aplica a integrales de la forma ∫1/x^p sobre [1, ∞) o (0, 1]. Es más útil como comparación: si tu integrando se comporta asintóticamente como 1/x^p, puedes determinar la convergencia rápidamente.

Una integral impropia converge absolutamente si ∫|f| converge. Converge condicionalmente si ∫f converge pero ∫|f| diverge. La convergencia absoluta es estrictamente más fuerte.

Sí: el área puede ser infinita. ∫_1^∞ 1/x dx es el ejemplo canónico: la curva y = 1/x es positiva en todo [1, ∞), pero el área bajo ella es infinita (diverge).

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